高専の数学解説

第16章 16.19

楕円の xx 軸との交点は (±2,0)(\pm\sqrt{2}, 0)

楕円上のある点を (n,1−n22)\left(n, \sqrt{1-\dfrac{n^2}{2}}\right) と考えると、定点 A(a,0)A(a, 0) との距離 hh は

h=(n−a)2+(1−n22−0)2=(n−a)2+1−n22=n2−2an+a2+1−n22=n22−2an+a2+1h = \sqrt{(n-a)^2 + \left(\sqrt{1-\dfrac{n^2}{2}} - 0\right)^2} = \sqrt{(n-a)^2+1-\dfrac{n^2}{2}} = \sqrt{n^2-2an+a^2+1-\dfrac{n^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{n^2}{2}-2an+a^2+1}

=12(n2−4an+2a2)+1=12(n−2a)2−a2+1= \sqrt{\dfrac{1}{2}(n^2-4an+2a^2)+1} = \sqrt{\dfrac{1}{2}(n-2a)^2-a^2+1}

g=h2=12(n−2a)2−a2+1g = h^2 = \dfrac{1}{2}(n-2a)^2-a^2+1 とすると

g′=n−2ag' = n-2a g′=0g'=0 のとき n−2a=0n-2a=0 n=2an=2a よって n=2an=2a のとき gg は最小値をとり、

hh も最小となる

−2≤n≤2-\sqrt{2} \le n \le \sqrt{2} から −2≤2a≤2-\sqrt{2} \le 2a \le \sqrt{2} −22≤a≤22-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \le a \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}

この範囲では n=2an=2a を成り立たせることが出来るので

h=12(2a−2a)2−a2+1=−a2+1h = \sqrt{\dfrac{1}{2}(2a-2a)^2-a^2+1} = \sqrt{-a^2+1} −22≤a≤22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le a \le \dfrac{\sqrt{2}}{2} から a2≤12a^2 \le \dfrac{1}{2} となり1より小さいので

=1−a2=\sqrt{1-a^2} が最小値となる

−2≤2a≤2-\sqrt{2}\le 2a \le \sqrt{2} 以外の範囲、つまり 2a<−22a<-\sqrt{2} 2<2a\sqrt{2}<2a では n=2an=2a を満足できないので

2a<−22a<-\sqrt{2} a<−22a<-\dfrac{\sqrt{2}}{2} のとき n=−2n=-\sqrt{2} とすれば (n−2a)2(n-2a)^2 の部分を最も小さくすることが出来る

このとき h=12(−2−2a)2−a2+1=12(2+42a+4a2)−a2+1=a2+22a+2h = \sqrt{\dfrac{1}{2}(-\sqrt{2}-2a)^2-a^2+1} = \sqrt{\dfrac{1}{2}(2+4\sqrt{2}a+4a^2)-a^2+1} = \sqrt{a^2+2\sqrt{2}a+2}

=(2+a)2=∣2+a∣=\sqrt{(\sqrt{2}+a)^2}=|\sqrt{2}+a| が最小となる

同様に 2a>22a>\sqrt{2} a>22a>\dfrac{\sqrt{2}}{2} のとき n=2n=\sqrt{2} とすれば (n−2a)2(n-2a)^2 の部分を最も小さくすることが出来る

このとき h=12(2−2a)2−a2+1=12(2−42a+4a2)−a2+1=a2−22a+2h = \sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{2}-2a)^2 - a^2 + 1} = \sqrt{\dfrac{1}{2}(2-4\sqrt{2}a+4a^2) - a^2 + 1} = \sqrt{a^2 - 2\sqrt{2}a + 2}

=(−a+2)2=∣2−a∣= \sqrt{(-a+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{2}-a| が最小となる

この解答は「NCT 〜高専生たちへ〜」のサイトを運営されている Miya さんから頂いた参考資料を基に作成しました。

解説: r31bn1z