第16章 16.11

(1)

問題集 p.89 双曲線より

$(6,0), (-6,0)$殻の距離の差が$8$なので

$b = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20}$

$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1$

(2)

$\sqrt{(3-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{(-3-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

距離の差は$2\sqrt{5}$

$a = \sqrt{5} \qquad c = 3 \qquad b = \sqrt{9-5} = 2$

$\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$

(3)

漸近線が$y = \pm 2x$なので $b = 2a$ である

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = 1 \qquad (1,0)\text{を通るので} \qquad \frac{1}{a^2} = 1 \qquad a = \pm 1 \qquad b = \pm 2$

これから $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{4} = 1$

(4)

点$(0,4)$を通ると仮定する

焦点が$y$軸上にあるので一般形は

$-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ となる

$\sqrt{(5-4)^2} = 1$

$\sqrt{(-5-4)^2} = 9$

距離の差は$8$

$a = 4$ $c = 5$ $b = 3$ となるので

$-\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$