第16章 16.6

(3)

接点を$(x_0, y_0)$とおくと、この点は円上の点であるので

$(x_0 - 1)^2 + (y_0 - 2)^2 = 25 \qquad ①$

円の接線の方程式は$(x_0 - 1)(x - 1) + (y_0 - 2)(y - 2) = 25 \qquad ②$

接線は点$(1,9)$を通るので

$(x_0 - 1)(1 - 1) + (y_0 - 2)(9 - 2) = 25 \qquad 7y_0 = 39 \qquad y_0 = \dfrac{39}{7}$

これを①に代入して

$(x_0 - 1)^2 + \left(\dfrac{39}{7} - 2\right)^2 = 25 \qquad (x_0 - 1)^2 + \left(\dfrac{25}{7}\right)^2 = 25 \qquad (x_0 - 1)^2 = \dfrac{600}{49} \qquad x_0 - 1 = \pm\dfrac{10\sqrt{6}}{7}$

$x_0 = 1 \pm \dfrac{10\sqrt{6}}{7}$

これを①に代入して

$\left(1 \pm \dfrac{10\sqrt{6}}{7} - 1\right)^2 + (y_0 - 2)^2 = 25 \qquad \dfrac{600}{49} + (y_0 - 2)^2 = 25 \qquad (y_0 - 2)^2 = \dfrac{625}{49} \qquad y_0 - 2 = \pm\dfrac{25}{7}$

$y_0 = 2 \pm \dfrac{25}{7}$

これより４通りの点が確認されるが点$(1,9)$を通る接線は$\left(1 \pm \dfrac{10\sqrt{6}}{7}, 2 + \dfrac{25}{7}\right)$のときである

これらを②に代入して

$\left(1 \pm \dfrac{10\sqrt{6}}{7} - 1\right)(x - 1) + \left(2 + \dfrac{25}{7} - 2\right)(y - 2) = 25 \qquad \pm\dfrac{10\sqrt{6}}{7}(x - 1) + \dfrac{25}{7}(y - 2) = 25$

$\pm 10\sqrt{6}(x - 1) + 25(y - 2) = 175 \qquad \pm 2\sqrt{6}(x - 1) + 5(y - 2) = 35$

$5(y - 2) = \mp 2\sqrt{6}(x - 1) + 35 \qquad y - 2 = \pm\dfrac{2\sqrt{6}}{5}(x - 1) + 7 \qquad y - 9 = \pm\dfrac{2\sqrt{6}}{5}(x - 1)$

(4)

$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0 \qquad ①$

原点を通る直線を $y = Cx$ とおく これが円と接するのでその点を$P(x_0, y_0)$とすると

$x_0^2 + C^2 x_0^2 - 6x_0 - 2Cx_0 + 9 = 0$

$(1+C^2)x_0^2 - 2(3+C)x_0 + 9 = 0$

$x_0 = \frac{3+C\pm\sqrt{(3+C)^2-9(1+C^2)}}{1+C^2}$

接線は円と１点のみで接するので

$\sqrt{(3+C)^2-9(1+C^2)}=0 \qquad (3+C)^2-9(1+C^2)=0$

$9+6C+C^2-9-9C^2=0 \qquad -8C^2+6C=0 \qquad 2C(3-4C)=0 \qquad \therefore C=0,\ \frac{3}{4}$

よって接線の方程式は $y=0$、$y=\dfrac{3}{4}x$

(5)

円の接線は$x_0 x + y_0 y = 4$

これが$(3,4)$を通るので $3x_0+4y_0=4$ ①

また$(x_0,y_0)$は円上の点をとるので $x_0^2+y_0^2=4$ ②

①から

$y_0 = 1-\frac{3}{4}x_0$

これを②に代入して

$x_0^2+\left(1-\frac{3}{4}x_0\right)^2=4 \qquad x_0^2+1-\frac{3}{2}x_0+\frac{9}{16}x_0^2=4 \qquad 25x_0^2-24x_0-48=0$

$x_0=\frac{12\pm\sqrt{144+1200}}{25}=\frac{12\pm\sqrt{1344}}{25}=\frac{12\pm8\sqrt{21}}{25}$

$y_0=1-\frac{3}{4}\cdot\frac{12\pm8\sqrt{21}}{25}=1-\frac{9\pm6\sqrt{21}}{25}=\frac{16\mp6\sqrt{21}}{25}$

これから接線の方程式は

$\frac{12\pm8\sqrt{21}}{25}x+\frac{16\mp6\sqrt{21}}{25}y=4 \qquad (\text{複合同順})$