第16章 16.5

(3)

$x^2 + y^2 = 1$ ① $x^2 + y^2 = 4x$ ② (2,3)

①から$y^2 = 1 - x^2$ これを②に代入して

$x^2 + (1 - x^2) = 4x$ $x = \dfrac{1}{4}$

これを①に代入して

$y^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ $y = \pm \dfrac{\sqrt{15}}{4}$

これから求めたい円は$\left(\dfrac{1}{4}, \pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}\right)$、(2,3)を通る

円の方程式を$x^2 + y^2 + ix + jy + k = 0$とおくと

$\left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{\sqrt{15}}{4}\right)$から $\dfrac{1}{16} + \dfrac{15}{16} + \dfrac{1}{4}i + \dfrac{\sqrt{15}}{4}j + k = 0$ (1)

$\left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{\sqrt{15}}{4}\right)$から $\dfrac{1}{16} + \dfrac{15}{16} + \dfrac{1}{4}i - \dfrac{\sqrt{15}}{4}j + k = 0$ (2)

(2,3)から $4 + 9 + 2i + 3j + k = 0$ (3)

①－②から $j = 0$ ④

②に代入して整理すると

$\frac{1}{4}i + k + 1 = 0$ (5)

③を整理して $2i + k + 13 = 0$ ③’

⑤－③’から

$i = -\frac{48}{7}$

これを③’に代入して

$k = \frac{5}{7}$

これから

$x^2 + y^2 - \frac{48}{7}x + \frac{5}{7} = 0$ $7x^2 + 7y^2 - 48x + 5 = 0$

(4)

$x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0 \qquad ① \qquad 3x + 2y - 1 = 0 \qquad ②$

①において$y=0$とすると

$x^2 - 4x = 0 \qquad x(x-4) = 0 \qquad \therefore x = 0, 4$

これから求めたい円は$(0,0), (4,0)$を通る

円の方程式を$x^2 + y^2 + ix + jy + k = 0$とおくと

$(0,0)$ $k = 0$ ③

$(4,0)$ $16 + 4i + k = 0$ ④

③を④に代入して $i = -4$ ⑤

③、⑤から $x^2 + y^2 - 4x + jy = 0$ ⑥

⑥を整理すると

$(x-2)^2 + \left(y + \frac{j}{2}\right)^2 = 4 + \frac{j^2}{4}$

これから求めたい円の中心は$x=2$のところにあることが分かる

これを直線の式に代入して

$6 + 2y - 1 = 0 \qquad y = -\frac{5}{2}$

よって$j=5$となる これを⑥に代入して

$x^2 + y^2 - 4x + 5y = 0$