第15章 15.21

A, B, C の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$とおくと

$\triangle$ABC の重心は $\vec{g} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ である

これから$\vec{g} = (x, y) = \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$となる

点 L, M, N の座標はそれぞれ

$L = \left(\dfrac{mx_3+nx_2}{m+n}, \dfrac{my_3+ny_2}{m+n}\right) \qquad M = \left(\dfrac{mx_1+nx_3}{m+n}, \dfrac{my_1+ny_3}{m+n}\right) \qquad N = \left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n}, \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$

これから$\triangle$LMN の重心$\vec{g'}$は

$\vec{g'} = \left(\dfrac{\dfrac{mx_3+nx_2}{m+n} + \dfrac{mx_1+nx_3}{m+n} + \dfrac{mx_2+nx_1}{m+n}}{3}, \dfrac{\dfrac{my_3+ny_2}{m+n} + \dfrac{my_1+ny_3}{m+n} + \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}}{3}\right)$

$= \left(\dfrac{\dfrac{(m+n)(x_1+x_2+x_3)}{m+n}}{3}, \dfrac{\dfrac{(m+n)(y_1+y_2+y_3)}{m+n}}{3}\right) = \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

よって$\triangle$ABC と $\triangle$LMN の重心は一致する