第15章 15.22

(1)

直線 PQ と原点の距離は

原点から直線へ伸ばした線が直線と垂直に交わるときである

つまり、この値が最も大きくなる時の直線を考えればよい

直線 PQ は必ず点A(a,b)を通る。

今点 A と原点を結ぶ直線が直線 PQ と直交するとすれば

距離＝$\sqrt{a^2+b^2}$ となる。

ここで、この直線 PQ の傾きを緩やかにすると x 軸と y 軸との交点は$P_1, Q_1$となり、

原点と直交する点は B となる ∠OBA が 90°なので

$OB = \sqrt{OA^2 - BA^2}$

$BA^2 > 0$なので $OB < OA$ となり OA より距離が短くなる

同様に、直線 PQ の傾きを急にすると x 軸と y 軸との交点は$P_2, Q_2$となり、

原点と直交する点は C となる ∠OCA が 90°なので

$OC = \sqrt{OA^2 - CA^2}$

$CA^2 > 0$なので $OC < OA$ となり OA より距離が短くなる

よってOA⊥PQとなるときに距離が最大となり 距離＝$\sqrt{a^2+b^2}$ となる

(2)

P(p,0) Q(0,q) とすると△OPQ の面積 S は

$S = \frac{pq}{2}$

また、辺の長さが a,b の四角形の周りに三角形が２つあると考えると面積 S は下のようにも書ける

$S = ab + \frac{a(q-b)}{2} + \frac{b(p-a)}{2} = ab + \frac{-2ab+aq+bp}{2} = \frac{aq+bp}{2} = \frac{aq}{2} + \frac{bp}{2}$

これら２式から$\dfrac{pq}{2} = \dfrac{aq}{2} + \dfrac{bp}{2}$ $pq = aq + bp$ となり、

$q = \frac{bp}{p-a}$

となる

これを２つ目の面積の式に代入すると

$S = ab + \frac{1}{2}b(p-a) + \frac{1}{2}a\left(\frac{bp-bp+ab}{p-a}\right) = ab + \frac{1}{2}b(p-a) + \frac{1}{2}a\left(\frac{ab}{p-a}\right) = ab + \frac{b}{2}\left(\frac{p^2-2ap+2a^2}{p-a}\right)$

$S' = \frac{b}{2}\left\{\frac{(2p-2a)(p-a)-(p^2-2ap+2a^2)}{(p-a)^2}\right\}$ $S'=0$ のとき $(2p-2a)(p-a)-(p^2-2ap+2a^2)=0$

$2p^2 - 4ap + 2a^2 - p^2 + 2ap - 2a^2 = 0 \qquad p^2 - 2ap = 0 \qquad p(p-2a) = 0 \qquad p = 0, 2a$

$p > a$ から $p = 2a$ このとき $S = 2ab$ となる