第8章 8.27

(1)

$\frac{x}{x-1} < 1-a \qquad 1+\frac{1}{x-1} < 1-a$

$\frac{1}{x-1} < -a$

右辺と左辺のグラフを描くと右図のようになる

この図で$y = -a$を上下に移動させると

$a<0$ なら $x<1$ $\dfrac{a-1}{a}<x$

$a=0$ なら $x<1$

$0<a$ なら $\dfrac{a-1}{a}<x<1$

(2)

$\frac{x+2a}{x+a} > \frac{x}{a-x} \qquad 1+\frac{a}{x+a} > -\frac{a}{x-a}-1$

$2+\frac{a}{x+a} > -\frac{a}{x-a}$

２つの式の交点は

$-(x+2a)(x-a) = x(x+a)$

$-x^2-ax+2a^2 = x^2+ax \qquad 2x^2+2ax-2a^2=0$

$x^2+ax-a^2=0$

$x = \frac{-a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2} = \frac{-a\pm\sqrt{5}a}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}a$

$a>0$（上のグラフ）、$a<0$（下のグラフ）

これから

$a>0$ なら $x<\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}a$ $-a<x<\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}a$ $a<x$

$a=0$ なら $0$以外の全ての実数

$a<0$ なら $x<a$ $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}a<x<-a$ $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}a<x$