第8章 8.26

(1)

$x > 1$ のとき

$\frac{1}{x-1} > \frac{2}{x+1} \qquad (x+1) > 2(x-1) \qquad x+1 > 2x-2 \qquad x < 3$

$-1 < x < 1$ のとき

$\frac{1}{x-1} > \frac{2}{x+1}$

これは左辺が必ず $0$ より小さく、右辺が必ず $0$ より大きくなるので解なし

$x < -1$ のとき、$(x-1)(x+1)>0$ より

$\frac{1}{x-1} > \frac{2}{x+1} \qquad x+1 > 2(x-1) \qquad x < 3$

$x < -1$ では常に成り立つので、これから $x < -1$ $1 < x < 3$

(2)

$\frac{x^2+3x+2}{x^3-1} \geq 0 \qquad \text{定義域}：x \neq 1 \qquad \frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x^2+x+1)} \geq 0$

解が存在するのは分母分子が共に正又は負の時であり

分母：$x < 1$ で負 $1 < x$ で正となる

分子：$-2 < x < -1$ で負 $x \leq -2$ $-1 \leq x$ で正となる

共に負の範囲（$0$ も含む）$-2 \leq x \leq -1$ 共に正の範囲（定義域を考慮）$1 < x$ となる

これから $-2 \leq x \leq -1$ $1 < x$

(3)

右側の不等式から $\dfrac{2x-1}{x+1} < 1$

分母 $x+1 > 0$ $x > -1$ のとき $2x-1 < x+1$ $x < 2$ これから $-1 < x < 2$

分母 $x+1 < 0$ $x < -1$ のとき 右辺 $>1$ より解なし

左側の不等式から $1 \leq \dfrac{2x+1}{x} = 2 + \dfrac{1}{x}$ $-1 \leq \dfrac{1}{x}$ 定義域：$x \neq 0$

$-1 = \frac{1}{x} \qquad x = -1$

グラフから考えて $x \leq -1$ $x > 0$

これら２つからから $0 < x < 2$