第8章 8.28

(1)

交点は $\sqrt{x+2} = x+a$ $x+2=(x+a)^2$ $x+2=x^2+2ax+a^2$

$x^2+(2a+1)x+a^2-2=0$ $x=\dfrac{-2a+1\pm\sqrt{(2a-1)^2-4(a^2-2)}}{2}$

判別式 $D=(2a-1)^2-4(a^2-2)=4a^2-4a+1-4a^2+8=-4a+9$

これから $\dfrac{9}{4} < a$ のとき解なし

$a=\dfrac{9}{4}$ のとき共有点は1つ

また $\sqrt{x+2}$ は正の値しかとらないので右図のように

$a>\dfrac{9}{4}$ においても共有点を1つしか取らないところがある

$y=x+a$ が $(x,y)=(-2,0)$ を通るとき $a=2$ なので

$2\leq a<\dfrac{9}{4}$ のとき共有点は2つ $a<2$ のとき1つ

(2)

(1)と同様に考えて 交点は

$\sqrt{2x+3}=x-a$ $2x+3=(x-a)^2$

$2x+3=x^2-2ax+a^2$ $x^2-2(1+a)x+a^2-3=0$

$x=1+a\pm\sqrt{(1+a)^2-(a^2-3)}$

判別式 $D=(1+a)^2-(a^2-3)=1+2a+a^2-a^2+3=2a+4$

これから $a < -2$ のとき解なし

また $\sqrt{2x+3}$ は正の値しかとらないので

$a > -2$ においても共有点を１つしか取らないところがある

$y = x - a \quad \text{が} \quad (x, y) = \left(-\frac{3}{2}, 0\right) \quad \text{を通るとき} \quad a = -\frac{3}{2} \quad \text{なので}$

$-2 < a \leq -\dfrac{3}{2}$ のとき共有点は２つ $-\dfrac{3}{2} < a$ のとき１つ