第8章 8.22

$\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0$

$\frac{(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)}{(x-a)(x-b)(x-c)}=0$

$(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0$

$x^2-bx-cx+bc+x^2-ax-cx+ac+x^2-ax-bx+ab=0$

$3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0$

$x=\frac{(a+b+c)\pm\sqrt{(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}}{3}$

判別式$D=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3(ab+bc+ca)$

$=a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)$

ここで高専の数学１ p.83 練習問題７6.(2)の問題から

$a^2+b^2+c^2 \geqq (ab+bc+ca)$ が成り立つ

また$a \neq b \neq c$より

判別式$D>0$となり２つの異なる実数解を持つ事が分かる