第7章 7.27

(1)

$A^2+B^2=(a^2+b^2)x^2+4abxy+(a^2+b^2)y^2=\{(a+b)^2-2ab\}x^2+4abxy+\{(a+b)^2-2ab\}y^2$

$=(1-2ab)x^2+4abxy+(1-2ab)y^2=x^2+y^2-2ab(x^2-2xy+y^2)=x^2+y^2-2ab(x-y)^2$

$a>0$ $b>0$ から $-2ab(x-y)^2\leq0$ 等号は$a$又は$b$が$0$のとき

よって $x^2+y^2\geq A^2+B^2$

(2)

$AB=abx^2+(a^2+b^2)xy+aby^2=abx^2+\{(a+b)^2-2ab\}xy+aby^2=ab(x^2-2xy+y^2)+xy$

$=ab(x-y)^2+xy$

$a>0$ $b>0$ から $ab(x-y)^2\geq0$ 等号は$a$又は$b$が$0$のとき

よって $xy\leq AB$