第7章 7.28

(1)

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2 \geq 0 \text{ となればよい}$

$(ax+by)^2 = a^2x^2+2abxy+b^2y^2$

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2$

これから

$b^2x^2+a^2y^2-2abxy=(bx-ay)^2 \geq 0$

よって与式は成り立つ

等号は$bx=ay$のとき つまり $a:b=x:y$ のとき

(2)

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2 \geq 0 \text{ となればよい}$

$(ax+by+cz)^2 = a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2acxz+2bcyz$

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+a^2(y^2+z^2)+b^2(x^2+z^2)+c^2(x^2+y^2)$

これから

$a^2(y^2+z^2)+b^2(x^2+z^2)+c^2(x^2+y^2)-2abxy-2acxz-2bcyz$

$=(a^2z^2-2acxz+c^2x^2)+(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)$

$=(az-cx)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2 \geq 0$

よって与式は成り立つ

等号は$az=cx$、$ay=bx$、$bz=cy$ つまり $a:c=z:x$ $a:b=y:x$ $b:c=z:y$ → $a:b:c=x:y:z$