第7章 7.25

(3)

$(\text{左辺}) = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 + (c^2+d^2)^2 - 2c^2d^2 = \{(a+b)^2-2ab\}^2 - 2a^2b^2 + \{(c+d)^2-2cd\}^2 - 2c^2d^2$

ここで $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ であることから

$\geq \{4ab-2ab\}^2 - 2a^2b^2 + \{4cd-2cd\}^2 - 2c^2d^2 = 2a^2b^2+2c^2d^2 = 2(ab+cd)^2-4abcd$

ここで $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ であることから

$\geq 2(4abcd)-4abcd=4abcd=(\text{右辺})$

よって与式は成り立つ （等号は $a=b=c=d$ のとき）

(4)

$(\text{左辺})-(\text{右辺}) = a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$= (a+b+c)\cdot\frac{1}{2}\{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2-4ab-4bc-4ca\}$

ここで $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ であることから

$\geq (a+b+c)\cdot\frac{1}{2}\{4ab+4bc+4ca-4ab-4bc-4ca\}=(a+b+c)\cdot 0=0$

よって与式は成り立つ