第7章 7.24

(1)

解が α・β・γ であるので因数分解すると以下のようになると考えられる

$a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0$

$a\{x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma\} = 0$

これが与式とひとしくなるので

$a(\alpha + \beta + \gamma) = -b \qquad \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$

$a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = c \qquad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$

$a\alpha\beta\gamma = -d \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

(2)

$x^3 - 6x^2 - 9x + m = 0$

２つの解の差が６であるので

$\alpha - \beta = 6 \qquad \alpha = \beta + 6 \text{ となる} \quad \text{この関係と } a = 1, b = -6, c = -9, d = m \text{ を関係式に代入すると}$

$\beta + 6 + \beta + \gamma = 6 \qquad 2\beta + \gamma = 0 \qquad \gamma = -2\beta \qquad ①$

$(\beta + 6)\beta + \beta\gamma + \gamma(\beta + 6) = -9 \qquad \beta^2 + 2\beta\gamma + 6\beta + 6\gamma + 9 = 0 \qquad ②$

$(\beta + 6)\beta\gamma = -m \qquad ③$

①を②に代入すると

$\beta^2 + 2\beta(-2\beta) + 6\beta + 6(-2\beta) + 9 = 0 \qquad -3\beta^2 - 6\beta + 9 = 0 \qquad \beta^2 + 2\beta - 3 = 0 \qquad \beta = 1, -3$

β = −3 のとき①よりγ = 6となり、これらを③に代入するとm = 54 となり３つめの解 α = 3 が求まる

β = 1 のとき①よりγ = −2となり、これらを③に代入するとm = 14 となり３つめの解 α = 7 が求まる