第7章 7.22 | 高専の数学解説

解に $3, -2$ を含まれるので $x-3$ 及び $x+2$ で割ったときに余りが $0$ となるはずである

\begin{array}{r} x^3+(a-2)x^2-(a-4)x+(2a+3) \\[2pt] \hline x+2 \big)\ x^4+ax^3+ax^2+11x+b\phantom{)} \\ \underline{x^4+2x^3} \\ (a-2)x^3+ax^2 \\ \underline{(a-2)x^3+2(a-2)x^2} \\ -(a-4)x^2+11x \\ \underline{-(a-4)x^2-2(a-4)x} \\ (2a+3)x+b \\ \underline{(2a+3)x+2(2a+3)} \\ b-2(2a+3) \end{array}

\begin{array}{r} x^3+(a+3)x^2+(4a+9)x+(12a+38) \\[2pt] \hline x-3 \big)\ x^4+ax^3+ax^2+11x+b\phantom{)} \\ \underline{x^4-3x^3} \\ (a+3)x^3+ax^2 \\ \underline{(a+3)x^3-3(a+3)x^2} \\ (4a+9)x^2+11x \\ \underline{(4a+9)x^2-3(4a+9)x} \\ (12a+38)x+b \\ \underline{(12a+38)x-3(12a+38)} \\ b+3(12a+38) \end{array}

これから

$b-4a-6=0$ $b+36a+114=0$

$a=-3, b=-6$

$x^4-3x^3-3x^2+11x-6=0$

$x=3,-2$ でなりたつので

因数分解の解の中に $(x-3)(x+2)$ が含まれることが分かる

$=(x-3)(x+2)(x^2-2x+1) = (x-3)(x+2)(x-1)^2 = 0$

よって $x=1$ （重解）

\begin{array}{r} x^2-2x+1 \\[2pt] \hline x^2-x-6 \big)\ x^4-3x^3-3x^2+11x-6\phantom{)} \\ \underline{x^4-x^3-6x^2} \\ -2x^3+3x^2+11x \\ \underline{-2x^3+2x^2+12x} \\ x^2-x-6 \\ \underline{x^2-x-6} \\ 0 \end{array}