第7章 7.19

(1)

$\frac{1}{x^2-5x+6} = \frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x-3}$

$a(x-3) + b(x-2) = 1$ から $a+b=0$ $-3a-2b=1$ この2式から $a=-1$ $b=1$

よって

$= \frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3}$

(2)

$\frac{4x-1}{(x-1)^2(x+2)} = \left(\frac{4x-1}{(x-1)(x+2)}\right)\frac{1}{x-1} = \left(\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}\right)\frac{1}{x-1}$

$a(x+2)+b(x-1) = 4x-1$ から $a+b=4$ $2a-b=-1$ この2式から $a=1$ $b=3$

$= \left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x+2}\right)\frac{1}{x-1} = \frac{1}{(x-1)(x-1)}+\frac{3}{(x+2)(x-1)} = \frac{1}{(x-1)^2}+\frac{c}{x+2}+\frac{d}{x-1}$

$c(x-1)+d(x+2)=3$ から $c+d=0$ $-c+2d=3$ この2式から $c=-1$ $d=1$

$= \frac{1}{(x-1)^2}+\frac{-1}{x+2}+\frac{1}{x-1}$

(3)

$\frac{4x^2-5x+5}{(1-x)(1+x^2)^2} = \left(\frac{4x^2-5x+5}{(1-x)(1+x^2)}\right)\frac{1}{1+x^2} = \left(\frac{a}{1-x}+\frac{bx+c}{1+x^2}\right)\frac{1}{1+x^2}$

括弧の中は問題（２）と同様に考えて計算すると$a=2$、$b=-2$、$c=3$と求められるので

$= \left(\frac{2}{1-x}+\frac{-2x+3}{1+x^2}\right)\frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1-x}\cdot\frac{1}{1+x^2}+\frac{-2x+3}{1+x^2}\cdot\frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{(1-x)(1+x^2)}+\frac{-2x+3}{(1+x^2)^2}$

$= \left(\frac{d}{1-x}+\frac{ex+f}{1+x^2}\right)+\frac{-2x+3}{(1+x^2)^2}$

括弧内を計算すると$d=e=f=1$から

$= \frac{1}{1-x}+\frac{x+1}{1+x^2}+\frac{-2x+3}{(1+x^2)^2}$

(4)

$\frac{3x^2-x}{x^3-2x+1} = \frac{3x^2-x}{(x-1)(x^2+x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x-1}$

a,b,c を計算すると a=2、b=1、c $= -2$ となるので

$= \frac{2}{x-1} + \frac{x-2}{x^2+x-1}$