第7章 7.17

(1)

$(a+b)(c+d) \geq 4\sqrt{abcd}$

$(a+b)(c+d) - 4\sqrt{abcd} \geq 0$ となればよい

$ac+ad+bc+bd-4\sqrt{abcd} = (\sqrt{ac}-\sqrt{bd})^2 + (\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^2$

$(\sqrt{ac}-\sqrt{bd})^2 \geq 0 \quad (\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^2 \geq 0$ なので与式は成り立つ 等号は $a=b$ $c=d$ のとき成り立つ

（別） 相加平均と相乗平均の関係を利用すると

$a+b \geq 2\sqrt{ab} \qquad c+d \geq 2\sqrt{cd}$ より 両辺をそれぞれ掛け合わせると

$(a+b)(c+d) \geq 2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{cd} = 4\sqrt{abcd}$ が求まる

(2)

$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) - 8abc \geq 0$ となればよい

$(ab+ac+b^2+bc)(c+a) - 8abc = (abc+a^2b+c^2a+a^2c+b^2c+b^2a+c^2b+abc) - 8abc$

$= a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc = a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)-6abc$

$= a(b-c)^2 + b(a-c)^2 + c(a-b)^2$

$a(b-c)^2 \geq 0 \quad b(a-c)^2 \geq 0 \quad c(a-b)^2 \geq 0$ なので与式は成り立つ 等号は$a=b=c$のとき成り立つ

（別） (1)と同様に相加平均と相乗平均の関係を用いると

$a+b \geq 2\sqrt{ab} \qquad b+c \geq 2\sqrt{bc} \qquad (c+a) \geq 2\sqrt{ac}$ より 両辺をそれぞれ掛け合わせると

$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ac} = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc$ が求まる

なお、相加平均と相乗平均の関係を用いる場合にはその証明も必要となるかもしれない