第7章 7.16

(1)

$a^2+b^2 \geq 2(a-b-1)$

$a^2+b^2-2(a-b-1) \geq 0 \quad \text{であればよい}$

$a^2+b^2-2a+2b+2=(a-1)^2+(b+1)^2-2+2=(a-1)^2+(b+1)^2$

$(a-1)^2 \geq 0$ $(b+1)^2 \geq 0$ なので 与式は成り立つ 等号は$a=1,b=-1$ のとき

(2)

$a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

$a^2+b^2+c^2-\frac{(a+b+c)^2}{3} \geq 0 \quad 3a^2+3b^2+3c^2-(a+b+c)^2 \geq 0 \quad \text{であればよい}$

$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2$

$(a-c)^2 \geq 0$ $(a-b)^2 \geq 0$ $(b-c)^2 \geq 0$ なので 与式は成り立つ 等号は$a=b=c$ のとき

(3)

$a^2+b^2+c^2+d^2+1 \geq a+b+c+d$

$a^2+b^2+c^2+d^2+1-a-b-c-d \geq 0 \quad \text{となればよい}$

$\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\left(d-\frac{1}{2}\right)^2-4\cdot\frac{1}{4}+1=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\left(d-\frac{1}{2}\right)^2$

$\left(a-\frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ $\left(b-\frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ $\left(c-\frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ $\left(d-\frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ なので与式は成り立つ

等号は $a=b=c=d=\dfrac{1}{2}$ のとき