第7章 7.15

(1)

$x^3-2x\le 0 \qquad x(x^2-2)=x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\le 0$

x軸との交点は $0,\pm\sqrt{2}$

グラフを考えると

$x\le -\sqrt{2} \quad 0\le x\le \sqrt{2}$

(2)

$x^3+4x^2+x-6\ge 0$

等式は$x=1$でなりたつので

因数分解の解の中に$x-1$が含まれることが分かる

$=(x-1)(x^2+5x+6)=(x-1)(x+2)(x+3)\ge 0$

x軸との交点は $1,-2,-3$

グラフを考えると

$-3\le x\le -2 \quad 1\le x$

(3)

$x^3-3x^2+4\le 0$

等式は$x=-1$及び$x=2$でなりたつので

因数分解の解の中に$(x+1)(x-2)$が含まれることが分かる

$=(x+1)(x-2)(x-2)\le 0$

x軸との交点は $-1,2$

グラフを考えると

$x\le -1 \quad x=2$

(4)

$x^3 + x^2 + 4 > 0$

等式は$x=-2$でなりたつので

因数分解の解の中に$(x+2)$が含まれることが分かる

$= (x+2)(x^2-x+2) > 0$

x軸との交点は$-2$のみ

グラフを考えると

$x > -2$

(5)

$x^4 + 4x^3 - x^2 - 4x \geq 0$

$x(x^3+4x^2-x-4) \geq 0$

$x^3+4x^2-x-4=0$を考えると

等式は$x=-4, \pm 1$でなりたつ これで解が3つ求まったので

因数分解の解は$(x+4)(x-1)(x+1)$となることが分かる

$= x(x+4)(x-1)(x+1) \geq 0$

x軸との交点は$0, -4, \pm 1$

グラフを考えると

$x \leq -4, \quad -1 \leq x \leq 0, \quad 1 \leq x$

(6)

$2x^4 + 5x^3 - x^2 - 11x + 5 \leq 0$

等式は$x=1$でなりたつので

因数分解の解の中に$(x-1)$が含まれることが分かる

$= (x-1)(2x^3+7x^2+6x-5) \leq 0$

$2x^3+7x^2+6x-5=0$を考えると

等式は$x=\dfrac{1}{2}$でなりたつので

因数分解の解の中に$\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$が含まれることが分かる

因数分解の解は$\left(x-\dfrac{1}{2}\right)(2x^2+8x+10)$となることが分かる

$= (x-1)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)(2x^2+8x+10) \leq 0$

グラフを考えると

$\dfrac{1}{2} \leq x \leq 1$