第7章 7.14

$\frac{y+z}{x} = \frac{z+7x}{y} = \frac{x-y}{z}$

$\dfrac{y+z}{x} = \dfrac{z+7x}{y}$ から $y(y+z) = x(z+7x)$ $y^2+yz-xz-7x^2=0$ ①

$\dfrac{z+7x}{y} = \dfrac{x-y}{z}$ から $z(z+7x) = y(x-y)$ $z^2+7xz-xy+y^2=0$ ②

$\dfrac{y+z}{x} = \dfrac{x-y}{z}$ から $z(y+z) = x(x-y)$ $yz+z^2-x^2+xy=0$ ③

①-②は

$yz-8xz-7x^2-z^2+xy=0$ $y(x+z)-(7x^2+8xz+z^2)=0$

$y(x+z)-(7x+z)(x+z)=0$ $(x+z)(y-7x-z)=0$

これから $x=-z$、$y-7x-z=0$

$x=-z$を①に代入すると

$y^2+yz-6z^2=0$ $(y+3z)(y-2z)=0$ ∴解の1つとして$y=-3z=3x$がある

これから $y=3k,z=-k,x=k$ （$k$は整数）

例として$k=1$のとき $y=3,z=-1,x=1$ から与式は

$\frac{3-1}{1} = \frac{-1+7}{3} = \frac{1-3}{-1} = 2$ よって成り立つ

また$y-7x-z=0$を①に代入すると

$(7x+z)^2+(7x+z)z-xz-7x^2=0$

$(3x+z)(7x+z)=0$ $z=-3x$ $z=-7x$

$z=-3x$を①に代入すると

$y=4x$ となり $4z=-12x=-3y$の関係となる これから$x=k,y=4k,z=-3k$ （$k$は整数）

例として$k=1$のとき $x=1,y=4,z=-3$ から与式は

$\frac{4-3}{1} = \frac{-3+7}{4} = \frac{1-4}{-3} = 1$ よって成り立つ