第7章 7.11 | 高専の数学解説

(1)

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$x = -1$ でなりたつので

因数分解の解の中に $x + 1$ が含まれることが分かる

$= (x+1)(x^2-x-2) = (x+1)(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2, -1$ （重解）

       x² - x  - 2
     ________________
x+1 ) x³        -3x   -2
      x³ + x²
     ____________
        -x²  -3x
        -x²   -x
        __________
            -2x  -2
            -2x  -2
            ________
                  0

(2)

$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$

$x = 2$ でなりたつので

因数分解の解の中に $x - 2$ が含まれることが分かる

$= (x-2)(x^2-3) = (x-2)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) = 0$

$x = 2, \pm\sqrt{3}$ （重解）

        x²         -3
     ________________
x-2 ) x³  -2x²  -3x  +6
      x³  -2x²
     ____________
              -3x  +6
              -3x  +6
              ________
                    0

(3)

$2x^3 + 7x^2 + 4x - 4 = 0$

$x = -2$ でなりたつので

因数分解の解の中に $x + 2$ が含まれることが分かる

$= (x+2)(2x^2+3x-2) = (x+2)(x+2)(2x-1) = 0$

$x = \dfrac{1}{2}, -2$ （重解）

        2x²  +3x  -2
     ________________
x+2 ) 2x³  +7x²  +4x  -4
      2x³  +4x²
     ____________
            3x²  +4x
            3x²  +6x
            ________
                 -2x  -4
                 -2x  -4
                 ________
                       0

(4)

$3x^3 + x^2 - 8x + 4 = 0$

$x = 1$ でなりたつので

因数分解の解の中に $x - 1$ が含まれることが分かる

$= (x-1)(3x^2+4x-4) = (x-1)(x+2)(3x-2) = 0$

$x = 1, -2, \dfrac{2}{3}$

        3x²  +4x  -4
     ________________
x-1 ) 3x³  +x²  -8x  +4
      3x³  -3x²
     ____________
            4x²  -8x
            4x²  -4x
            ________
                 -4x  +4
                 -4x  +4
                 ________
                       0

(5)

$2x^3 - 8x^2 + 7x + 2 = 0$

x = 2 でなりたつので

因数分解の解の中にx − 2 が含まれることが分かる

$= (x-2)(2x^2-4x-1) = 0$

$x = 2, \frac{2\pm\sqrt6}{2}$

\begin{array}{rrrrrr} & & 2x^2 & -4x & -1 & \\ \cline{1-6} x-2 & \big) & 2x^3 & -8x^2 & +7x & +2 \\ & & 2x^3 & -4x^2 & & \\ \cline{3-4} & & & -4x^2 & +7x & \\ & & & -4x^2 & +8x & \\ \cline{4-5} & & & & -x & +2 \\ & & & & -x & +2 \\ \cline{5-6} & & & & & 0 \end{array}

(6)

$x(x+1)(x+2) = 3 \cdot 4 \cdot 5$

$x^3 + 3x^2 + 2x - 60 = 0$

x = 3 でなりたつので

因数分解の解の中にx − 3 が含まれることが分かる

$= (x-3)(x^2+6x+20) = 0$

$x = 3, -3\pm\sqrt{11}i$

\begin{array}{rrrrrr} & & x^2 & +6x & +20 & \\ \cline{1-6} x-3 & \big) & x^3 & +3x^2 & +2x & -60 \\ & & x^3 & -3x^2 & & \\ \cline{3-4} & & & 6x^2 & +2x & \\ & & & 6x^2 & -18x & \\ \cline{4-5} & & & & 20x & -60 \\ & & & & 20x & -60 \\ \cline{5-6} & & & & & 0 \end{array}

(7)

$x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 12 = 0$

x = 2 でなりたつ。またx = −3 でもなりたつので

因数分解の解の中に(x − 2)(x + 3)が含まれることがわかる

$= (x-2)(x+3)(x^2+x+2) = 0$

$x = 2, -3, \frac{-1\pm\sqrt7 i}{2}$

\begin{array}{rrrrrrr} & & x^2 & +x & +2 & & \\ \cline{1-7} x^2+x-6 & \big) & x^4 & +2x^3 & -3x^2 & -4x & -12 \\ & & x^4 & +x^3 & -6x^2 & & \\ \cline{3-5} & & & x^3 & +3x^2 & -4x & \\ & & & x^3 & +x^2 & -6x & \\ \cline{4-6} & & & & 2x^2 & +2x & -12 \\ & & & & 2x^2 & +2x & -12 \\ \cline{5-7} & & & & & & 0 \end{array}

(8)

$6x^4 + 19x^3 + 8x^2 - 2x - 1 = 0$

$x = -\frac{1}{2}$ でなりたつので

因数分解の解の中に $\left(x + \frac{1}{2}\right)$ が含まれることがわかる

$= \left(x+\frac{1}{2}\right)(6x^3+16x^2-2) = 2\left(x+\frac{1}{2}\right)(3x^3+8x^2-1) = 0$

$x = \frac{1}{3}$ でなりたつので

\begin{array}{rrrrrr} & & 6x^3 & +16x^2 & & -2 \\ \cline{1-6} x+\dfrac{1}{2} & \big) & 6x^4 & +19x^3 & +8x^2 & -2x & -1 \\ & & 6x^4 & +3x^3 & & & \\ \cline{3-4} & & & 16x^3 & +8x^2 & & \\ & & & 16x^3 & +8x^2 & & \\ \cline{4-5} & & & & & -2x & -1 \\ & & & & & -2x & -1 \\ \cline{6-7} & & & & & & 0 \end{array}

因数分解の解の中に $\left(\mathrm{x}-\dfrac{1}{3}\right)$ が含まれることがわかる

\begin{array}{r} 3x^2+9x+3\phantom{)}\\[-2pt] x-\dfrac{1}{3}\big)\,\overline{3x^3+8x^2+0x-1}\\[-2pt] \underline{3x^3-1x^2\phantom{+0x-1}}\\[-2pt] 9x^2+0x-1\\[-2pt] \underline{9x^2-3x\phantom{-1}}\\[-2pt] 3x-1\\[-2pt] \underline{3x-1}\\[-2pt] 0 \end{array}

$= 2\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)\left(\mathrm{x}-\frac{1}{3}\right)(3\mathrm{x}^2+9\mathrm{x}+3) = 6\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)\left(\mathrm{x}-\frac{1}{3}\right)(\mathrm{x}^2+3\mathrm{x}+1) = 0$

$\mathrm{x} = -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$