第7章 7.12

(1)

$x^4-5x^2+4=0$

$(x^2-4)(x^2-1)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=0$

これから 解は $x=\pm 1$、$\pm 2$ となる

(2)

$x^4-3x^2+1=0$

$x^2=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt5}{2}$

$x^2=\frac{3+\sqrt5}{2}=\frac{6+2\sqrt5}{4}=\frac{(a+\sqrt5)^2}{4}=\frac{a^2+2a\sqrt5+5}{4}\qquad a=1$

$=\frac{(1+\sqrt5)^2}{4}$

$x=\pm\frac{1+\sqrt5}{2}$

$x^2=\frac{3-\sqrt5}{2}=\frac{6-2\sqrt5}{4}=\frac{(a-\sqrt5)^2}{4}=\frac{a^2-2a\sqrt5+5}{4}\qquad a=1$

$=\frac{(1-\sqrt5)^2}{4}$

$x=\pm\frac{1-\sqrt5}{2}$

これから解は $x=\dfrac{\pm1\pm\sqrt5}{2}$

(3)

$(x^2+3x-2)(x^2+3x+4)=16$

$(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)-8=16$

$(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) - 24 = 0$

$(x^2 + 3x + 6)(x^2 + 3x - 4) = 0$

$(x^2 + 3x + 6)(x + 4)(x - 1) = 0$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2}, -4, 1$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{15}\,i}{2}, -4, 1$