高専の数学解説

第5章 5.30

(1)

x2+2(2m−1)x+5m2−4=0x^2 + 2(2m-1)x + 5m^2 - 4 = 0

判別式D=4(2m−1)2−4(5m2−4)=4(4m2−4m+1)−20m2+16=−4m2−16m+20\text{判別式}D = 4(2m-1)^2 - 4(5m^2-4) = 4(4m^2-4m+1) - 20m^2 + 16 = -4m^2 - 16m + 20

=−4(m2+4m−5)=−4(m+5)(m−1)≥0 となればよいので= -4(m^2+4m-5) = -4(m+5)(m-1) \geq 0 \text{ となればよいので}

−5≤m≤1-5 \leq m \leq 1

(2)

x=2m−1±(2m−1)2−(5m2−4)=2m−1±−(m+5)(m−1)x = 2m - 1 \pm \sqrt{(2m-1)^2 - (5m^2-4)} = 2m - 1 \pm \sqrt{-(m+5)(m-1)}

解が正と負なので２つの解の積は負になるはずである

(2m−1+−(m+5)(m−1))(2m−1−−(m+5)(m−1))=(2m−1)2−{−(m+5)(m−1)}\left(2m-1+\sqrt{-(m+5)(m-1)}\right)\left(2m-1-\sqrt{-(m+5)(m-1)}\right) = (2m-1)^2 - \{-(m+5)(m-1)\}

=4m2−4m+1+m2+4m−5=5m2−4<0= 4m^2 - 4m + 1 + m^2 + 4m - 5 = 5m^2 - 4 < 0

m2<45−255<m<255m^2 < \frac{4}{5} \qquad -\frac{2\sqrt{5}}{5} < m < \frac{2\sqrt{5}}{5}

解説: r31bn1z