第5章 5.27

全ての $x$ において $4$ より大きいためには少なくとも2次関数は下に凸である必要があるため

$a>0$である

$ax^2-2ax+4a-4x=ax^2-2(a+2)x+4a=a\left(x^2-\frac{2(a+2)}{a}x\right)+4a$

$=a\left(x-\frac{a+2}{a}\right)^2-\frac{(a+2)^2}{a}+4a=a\left(x-\frac{a+2}{a}\right)^2+\frac{4a^2-a^2-4a-4}{a}=a\left(x-\frac{a+2}{a}\right)^2+\frac{3a^2-4a-4}{a}$

$\dfrac{3a^2-4a-4}{a}>4$ $a>0$より $3a^2-4a-4>4a$ $3a^2-8a-4>0$

$3a^2-8a-4=0$のとき $a=\dfrac{4\pm\sqrt{16+12}}{3}=\dfrac{4\pm2\sqrt7}{3}$ なので $a<\dfrac{4-2\sqrt7}{3}$ $\dfrac{4+2\sqrt7}{3}<a$

$a>0$より $\dfrac{4+2\sqrt7}{3}<a$ となる