第4章 4.32

(1)

$x^2 + xy - 12y^2 + 2x + 15y - 3$

$= (x+4y)(x-3y) + 2x + 15y - 3$

$a(x+4y) + b(x-3y) = 2x+15y \qquad (a+b)x = 2x \qquad (4a-3b)y = 15y$

$a+b=2 \quad ① \qquad 4a-3b=15 \quad ②$

$a=3, b=-1$

$ab=-3$ であるので

$(x+4y-1)(x-3y+3)$

(2)

$2x^2 - 5xy - 3y^2 + 3x - 2y + 1$

$= (2x+y)(x-3y) + 3x - 2y + 1$

$(2x+y)+(x-3y) = 3x-2y$ であるので

$(2x+y+1)(x-3y+1)$

(3)

$(a^2-1)x^2 - 2(a^2+1)x + a^2-1$

$x = \frac{(a^2+1) \pm \sqrt{(a^2+1)^2-(a^2-1)^2}}{a^2-1} = \frac{a^2+1\pm\sqrt{4a^2}}{a^2-1} = \frac{a^2+1\pm2a}{a^2-1} = \frac{(a+1)^2}{a^2-1}, \frac{(a-1)^2}{a^2-1} = \frac{a+1}{a-1}, \frac{a-1}{a+1}$

これから

$\{(a-1)x-a-1\}\{(a+1)x-a+1\}$