高専の数学解説

第4章 4.30

(1)

x2−(m−1)x+m=0x^2 - (m-1)x + m = 0

x=(m−1)±(m−1)2−4m2=(m−1)±m2−2m+1−4m2=(m−1)±m2−6m+12x = \frac{(m-1) \pm \sqrt{(m-1)^2 - 4m}}{2} = \frac{(m-1) \pm \sqrt{m^2 - 2m + 1 - 4m}}{2} = \frac{(m-1) \pm \sqrt{m^2 - 6m + 1}}{2}

解が 2:32:3 であるとき

2:3=(m−1)−m2−6m+12:(m−1)+m2−6m+122:3 = \frac{(m-1) - \sqrt{m^2 - 6m + 1}}{2} : \frac{(m-1) + \sqrt{m^2 - 6m + 1}}{2}

2⋅(m−1)+m2−6m+12=3⋅(m−1)−m2−6m+122 \cdot \frac{(m-1) + \sqrt{m^2 - 6m + 1}}{2} = 3 \cdot \frac{(m-1) - \sqrt{m^2 - 6m + 1}}{2}

2(m−1)+2m2−6m+1=3(m−1)−3m2−6m+12(m-1) + 2\sqrt{m^2 - 6m + 1} = 3(m-1) - 3\sqrt{m^2 - 6m + 1}

m−1=5m2−6m+1(m−1)2=25(m2−6m+1)m - 1 = 5\sqrt{m^2 - 6m + 1} \qquad (m-1)^2 = 25(m^2 - 6m + 1)

m2−2m+1=25(m2−6m+1)24m2−148m+24=0(12m−2)(2m−12)=0m=6,16m^2 - 2m + 1 = 25(m^2 - 6m + 1) \qquad 24m^2 - 148m + 24 = 0 \qquad (12m-2)(2m-12) = 0 \qquad m = 6, \frac{1}{6}

m=6m = 6 のとき解は 2,32,3 m=16m = \dfrac{1}{6} のとき解は −12,−13-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{3}

(2)

(m−1)+m2−6m+12−(m−1)−m2−6m+12=1\frac{(m-1) + \sqrt{m^2 - 6m + 1}}{2} - \frac{(m-1) - \sqrt{m^2 - 6m + 1}}{2} = 1

(m−1)+m2−6m+1−(m−1)+m2−6m+1=2(m-1) + \sqrt{m^2 - 6m + 1} - (m-1) + \sqrt{m^2 - 6m + 1} = 2

m2−6m+1=1m2−6m+1=1m2−6m=0m(m−6)=0m=0,6\sqrt{m^2 - 6m + 1} = 1 \qquad m^2 - 6m + 1 = 1 \qquad m^2 - 6m = 0 \qquad m(m-6) = 0 \qquad m = 0, 6

m=6m = 6 のとき解は 2,32,3 m=0m = 0 のとき解は 0,−10, -1

(3)

(m−1)+m2−6m+12=2⋅(m−1)−m2−6m+12\frac{(m-1) + \sqrt{m^2 - 6m + 1}}{2} = 2 \cdot \frac{(m-1) - \sqrt{m^2 - 6m + 1}}{2}

(m−1)+m2−6m+1=2(m−1)−2m2−6m+1(m-1) + \sqrt{m^2 - 6m + 1} = 2(m-1) - 2\sqrt{m^2 - 6m + 1}

m−1=3m2−6m+1(m−1)2=9(m2−6m+1)m2−2m+1=9(m2−6m+1)m-1=3\sqrt{m^2-6m+1} \qquad (m-1)^2=9(m^2-6m+1) \qquad m^2-2m+1=9(m^2-6m+1)

8m2−52m+8=04m2−26m+4=0m=13±169−164=13±1534=13±31748m^2-52m+8=0 \qquad 4m^2-26m+4=0 \qquad m=\frac{13\pm\sqrt{169-16}}{4}=\frac{13\pm\sqrt{153}}{4}=\frac{13\pm3\sqrt{17}}{4}

m=13+3174m=\dfrac{13+3\sqrt{17}}{4} のとき

mm を求める際に m2−2m+1=9(m2−6m+1)m^2-2m+1=9(m^2-6m+1) という条件式が求まっているので

m2−2m+19=(m2−6m+1)(m−1)29=(m2−6m+1)\frac{m^2-2m+1}{9}=(m^2-6m+1) \qquad \frac{(m-1)^2}{9}=(m^2-6m+1)

(m−1)+m2−6m+12=(m−1)+(m−1)292=9+3174+9+317122=3+172\frac{(m-1)+\sqrt{m^2-6m+1}}{2}=\frac{(m-1)+\sqrt{\dfrac{(m-1)^2}{9}}}{2}=\frac{\dfrac{9+3\sqrt{17}}{4}+\dfrac{9+3\sqrt{17}}{12}}{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}

解は 3+172,3+174\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}, \dfrac{3+\sqrt{17}}{4}

同様に m=13−3174m=\dfrac{13-3\sqrt{17}}{4} のとき解は 3−172,3−174\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}, \dfrac{3-\sqrt{17}}{4}

解説: r31bn1z