第4章 4.22

$(a+bi)(c+di)=0$

$(ac-bd)+(ad+bc)i=0$ となるので

$ac-bd=0$ $ad+bc=0$ の２式を満たす

実部、虚部をそれぞれ２乗すると

$(ac-bd)^2=a^2c^2-2abcd+b^2d^2=0$ ①

$(ad+bc)^2=a^2d^2+2abcd+b^2c^2=0$ ②

①、②から

$a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=0$

$a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=0$ ③

今 $a+bi \neq 0$ であるなら $a^2+b^2>0$ となり

$(c^2+d^2)=0$ これから $c=\pm di$ となる

①、②は実部、虚部をそれぞれ２乗しているので対象としている式は

$(a+bi)(c+di)=0$ および $(a-bi)(c-di)=0$ となっているので ここでは $c=-di$ が解となる

同様に $c+di \neq 0$ であるなら $c^2+d^2>0$ となり

$(a^2+b^2)=0$ これから $a=\pm bi$ となる

これも同様に与式が成り立つには $a=-bi$ が解となる

これから $a+bi=0$ 又は $c+di=0$ となる