第3章 3.21 | 高専の数学解説

(1)

$(0 \leq x \leq 3)$ より与式は

$y = x^2 - 2x - 3$ と考えて良い

$y = (x-1)^2 - 4$

これから最小値は $x = 1$ のとき $-4$

また最大値は $x = 3$ のとき $0$ となる

$(-2 \leq x \leq 3)$ より与式は

\begin{cases} y = x^2 + 2x - 3 & x < 0 \\ y = x^2 - 2x - 3 & x \geq 0 \end{cases}

となる

\begin{cases} y = (x+1)^2 - 4 & x < 0 \quad ① \\ y = (x-1)^2 - 4 & x \geq 0 \quad ② \end{cases}

これから①において最小値は $x = -1$ のとき $-4$ 最大値は $x = -2$ のとき $-3$

②において最小値は $x = 1$ のとき $-4$ 最大値は $x = 3$ のとき $0$ となるので

最小値 $x = -1, 1$ のとき $-4$ 最大値は $x = 3$ のとき $0$

$(-1 \leq x \leq 2)$ より与式は

\begin{cases} y = -x(x-1) & x \leq 0 \\ y = x(x-1) & x > 0 \end{cases}

となる

\begin{cases} y = -\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{4} & x \leq 0 \quad ① \\ y = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} & x > 0 \quad ② \end{cases}

これから①において最小値は $x = -1$ のとき $-2$ 最大値は $x = 0$ のとき $0$

②において最小値は $x = \dfrac{1}{2}$ のとき $-\dfrac{1}{4}$ 最大値は $x = 2$ のとき $2$ となるので

最小値 $x = -1$ のとき $-2$ 最大値は $x = 2$ のとき $2$