第3章 3.20

(1)

$3x^2 + 2y = 6x \qquad y = \dfrac{1}{2}(6x - 3x^2) \qquad \text{これを代入して}$

$f(x) = x + 2 \cdot \dfrac{1}{2}(6x - 3x^2) = x + 6x - 3x^2 = -3x^2 + 7x = -3\left(x^2 - \dfrac{7}{3}x\right) = -3\left(x - \dfrac{7}{6}\right)^2 + \dfrac{49}{12}$

これは上に凸であるので

これから $x = \dfrac{7}{6}$ のとき $y = \dfrac{35}{24}$ であり最大値 $\dfrac{49}{12}$

(2)

$x + y^2 = 1 \qquad x = 1 - y^2 \qquad \text{これを代入して}$

$f(y) = (1 - y^2)^2 + 2y^2 = 1 - 2y^2 + y^4 + 2y^2 = y^4 + 1$

これは下に凸であるので

これから $y = 0$ のとき $x = 1$ であり最小値 $1$ となる

(3)

$x^2 + 2y = 1 \qquad y = \dfrac{1}{2}(1 - x^2) \qquad \text{これを代入して}$

$f(x) = 2x^2 + 5 \cdot \left\{\dfrac{1}{2}(1 - x^2)\right\}^2 = 2x^2 + \dfrac{5}{4}(1 - 2x^2 + x^4) = \dfrac{5}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{4}\left(x^4 - \dfrac{2}{5}x^2\right) + \dfrac{5}{4}$

$= \dfrac{5}{4}\left(x^2 - \dfrac{1}{5}\right)^2 + \dfrac{6}{5}$

これは下に凸であるので

これから $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ のとき $y = \dfrac{2}{5}$ であり最小値 $\dfrac{6}{5}$ となる