第3章 3.19

(1)

$y = x^2 + 2x + 4 = (x+1)^2 + 3$

これは下に凸であり頂点は$(-1,3)$となる

これは範囲内であるため$x=-1$のとき最小値$3$となる

$x=-2$のとき $y=4-4+4=4$

$x=3$のとき $y=9+6+4=19$

これから$x=3$のとき最大値$19$となる

(2)

$y = x^2 + 5x + 4 = \left(x+\frac{5}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$

これは下に凸であり頂点は$\left(-\dfrac{5}{2}, -\dfrac{9}{4}\right)$となる

これは範囲外であるため最小値とはならない

$x=-2$のとき $y=4-10+4=-2$

$x=3$のとき $y=9+15+4=28$

これから$x=-2$のとき最小値$-2$ $x=3$のとき最大値$28$となる

(3)

$y = -2x^2 + 5x + 4 = -2\left(x^2 - \frac{5}{2}x\right) + 4 = -2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{57}{8}$

これは上に凸であり頂点は$\left(\dfrac{5}{4}, \dfrac{57}{8}\right)$となる

これは範囲内であるため$x=\dfrac{5}{4}$のとき最大値$\dfrac{57}{8}$となる

$x=-2$のとき $y=-8-10+4=-14$

$x=3$のとき $y=-18+15+4=1$

これから$x=-2$のとき最小値$-14$

(4)

$y = -2x^2 + 4\sqrt{3}x - 1 = -2(x^2 - 2\sqrt{3}x) - 1 = -2(x - \sqrt{3})^2 + 5$

これは上に凸であり頂点は$(\sqrt{3}, 5)$となる

これは範囲内であるため$x = \sqrt{3}$のとき最大値$5$となる

$x = -2$のとき $y = -8 - 8\sqrt{3} - 1 = -9 - 8\sqrt{3}$

$x = 3$のとき $y = -18 + 12\sqrt{3} - 1 = -19 + 12\sqrt{3}$

これから$x = -2$のとき最小値$-9 - 8\sqrt{3}$