第3章 3.10

(1)

右図のようにある一辺の長さを $a$ とする

面積$S = a(6-a) = -a^2+6a = -(a-3)^2+9$

$S(a)$のグラフを考えて最大値を取る $a$ を求めればよいので

上式から $a=3$ のとき 最大値$9$ となることが分かる

$a=3$ のとき $6-a=3$ であり これは一辺3cmの正方形である

(2)

右図のようにある一辺の長さを $a$ とすると他方は

$\sqrt{4^2-a^2}$で表されるので

面積$S = a\sqrt{4^2-a^2}$

$S^2 = a^2(4^2-a^2) = -a^4+16a^2 = -(a^2-8)^2+64$

上式から$a^2=8$のとき 最大値$64$となるので

負の値を取らないことを考慮すると

$a=2\sqrt{2}$のとき 面積は最大となる

$a=2\sqrt{2}$ のとき $\sqrt{4^2-a^2} = \sqrt{16-8} = 2\sqrt{2}$ であり これは一辺$2\sqrt{2}$の正方形である