高専の数学解説

第10章 10.20

(1)

x(t)′=−x+4y+2e−tx'_{(t)} = -x + 4y + 2e^{-t} ① y(t)′=2y+xy'_{(t)} = 2y + x ② x(0)=0,y(0)=0x_{(0)} = 0, y_{(0)} = 0

②から y′′=2y′+x′y'' = 2y' + x' x′=y′′−2y′x' = y'' - 2y' ③

①+②から x′+y′=6y+2e−tx' + y' = 6y + 2e^{-t} ④

④を③に代入して y′′−2y′+y′=6y+2e−ty'' - 2y' + y' = 6y + 2e^{-t} y′′−y′−6y=2e−ty'' - y' - 6y = 2e^{-t}

(1)

から　y′′−y′−6y=2e−ty'' - y' - 6y = 2e^{-t}

特性方程式は s2−s−6=(s−3)(s+2)=0s^2 - s - 6 = (s-3)(s+2) = 0 ∴ s=3,−2s = 3, -2

微分演算子 D を使って (D2−D−6)y1=2e−t(D^2 - D - 6)y_1 = 2e^{-t}

y1=2D2−D−6e−ty_1 = \frac{2}{D^2 - D - 6}e^{-t} D=−1D = -1を代入して

=−12e−t= -\frac{1}{2}e^{-t} これから

y=Ae3t+Be−2t−12e−ty = Ae^{3t} + Be^{-2t} - \frac{1}{2}e^{-t} ⑤

y′=3Ae3t−2Be−2t+12e−ty' = 3Ae^{3t} - 2Be^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-t} ⑥

⑤、⑥を（１）②に代入して整理すると

x=Ae3t−4Be−2t+32e−tx = Ae^{3t} - 4Be^{-2t} + \frac{3}{2}e^{-t} ⑦

x(0)=0x_{(0)} = 0から⑦は 0=A−4B+320 = A - 4B + \frac{3}{2} ⑦’

y(0)=0y_{(0)} = 0から⑤は 0=A+B−120 = A + B - \frac{1}{2} ⑥’ これから A=110A = \frac{1}{10} B=25B = \frac{2}{5} よって

x=110e3t−85e−2t+32e−tx = \frac{1}{10}e^{3t} - \frac{8}{5}e^{-2t} + \frac{3}{2}e^{-t}

y=110e3t+25e−2t−12e−ty = \frac{1}{10}e^{3t} + \frac{2}{5}e^{-2t} - \frac{1}{2}e^{-t}

解説: r31bn1z