第10章 10.19

(1)

$\frac{dx}{dt} = -5x - y \quad ①$ $\frac{dy}{dt} = x - 3y \quad ②$

①をtで微分して

$\frac{d^2x}{dt^2} = -5\frac{dx}{dt} - \frac{dy}{dt} \quad \frac{dy}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} - 5\frac{dx}{dt} \quad ③$

①から $y = -\frac{dx}{dt} - 5x$ ①’

③、①’を②に代入して整理すると $x'' + 8x' + 16x = 0$

特性方程式は $s^2 + 8s + 16 = 0$ $(s+4)^2 = 0$ ∴ $s = -4$ これから

$x = Ate^{-4t} + Be^{-4t} \quad ④$

$x' = Ae^{-4t} - 4Ate^{-4t} - 4Be^{-4t} \quad ⑤$

④、⑤を①に代入して

$Ae^{-4t} - 4Ate^{-4t} - 4Be^{-4t} = -5Ate^{-4t} - 5Be^{-4t} - y$

$y = -(B + A + At)e^{-4t}$ （A,Bは任意定数）

(2)

$\frac{dx}{dt} = x + y \quad ①$ $\frac{dy}{dt} = x + y \quad ②$

①をtで微分して $x'' = x' + y'$ ③

①＋②から $x' + y' = 2x + 2y$ ④

①を④に代入すると $x'' + x' - x' = 2x + 2x' - 2x$ $x'' - 2x' = 0$

特性方程式は $s(s-2) = 0$ ∴ $s = 0,2$ これから

$x = Ae^{2t} + B \quad ⑤$

$x' = 2Ae^{2t} \quad ⑥$

⑤、⑥を①に代入して

$y = Ae^{2t} - B$ （A,Bは任意定数）