第10章 10.14

(1)

微分方程式は $\frac{d^2x}{dt^2} + k\frac{dx}{dt} = g$

速度 v は $\frac{dx}{dt} = v$ とおくと上式は $v' + kv = g$

$P = k$、$Q = g$ とおくと $\int Pdt = kt$ これから

$v = e^{-kt}\left\{\int e^{kt} g dt + C_1\right\} = e^{-kt}\left\{\frac{g}{k}e^{kt} + C_1\right\}$

$v_{(0)} = v_0$ なので

$\frac{g}{k} + C_1 = v_0$ $C_1 = v_0 - \frac{g}{k}$ これから

$v = e^{-kt}\left\{\frac{g}{k}e^{kt} + v_0 - \frac{g}{k}\right\} = \frac{1}{k}\{g + (kv_0 - g)e^{-kt}\}$

(1)

から

$v = \frac{1}{k}\{g + (kv_0 - g)e^{-kt}\}$ $v = \frac{dx}{dt}$ から

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{k}\{g + (kv_0 - g)e^{-kt}\}$

$\int dx = \int \frac{1}{k}\{g + (kv_0 - g)e^{-kt}\}dt$

$x = \frac{g}{k}t + \frac{1}{k}(kv_0 - g)\left(-\frac{1}{k}\right)e^{-kt} + C_2$

$x_{(0)} = 0$ なので これから

$C_2 = \frac{1}{k^2}(kv_0 - g)$ これから

$x = \frac{g}{k}t - \frac{1}{k^2}(kv_0 - g)e^{-kt} + \frac{1}{k^2}(kv_0 - g) = \frac{g}{k}t + \frac{g - kv_0}{k^2}(e^{-kt} - 1)$