高専の数学解説

第10章 10.5

(1)

y′′−5y′+6y=e4xy'' - 5y' + 6y = e^{4x}

特性方程式は s2−5s+6=0s^2 - 5s + 6 = 0 (s−2)(s−3)=0(s-2)(s-3) = 0 ∴s=2,3\therefore s = 2,3

微分演算子 D を使って (D2−5D+6)y1=e4x(D^2 - 5D + 6)y_1 = e^{4x}

y1=1D2−5D+6e4xy_1 = \frac{1}{D^2 - 5D + 6} e^{4x} D=4D = 4 を代入して

=142−5⋅4+6e4x=12e4x= \frac{1}{4^2 - 5 \cdot 4 + 6} e^{4x} = \frac{1}{2} e^{4x} これから

y=Ae2x+Be3x+12e4xy = Ae^{2x} + Be^{3x} + \frac{1}{2}e^{4x} （A,B は任意定数）

(2)

y′′−6y′+9y=e3xy'' - 6y' + 9y = e^{3x}

特性方程式は s2−6s+9=0s^2 - 6s + 9 = 0 (s−3)2=0(s-3)^2 = 0 ∴s=3\therefore s = 3 （重解）

微分演算子 D を使って (D2−6D+9)y1=e3x(D^2 - 6D + 9)y_1 = e^{3x}

y1=1D2−6D+9e3xy_1 = \frac{1}{D^2 - 6D + 9} e^{3x} D=3D = 3 を代入して

=132−6⋅3+9e3x=10e3x= \frac{1}{3^2 - 6 \cdot 3 + 9} e^{3x} = \frac{1}{0} e^{3x} 分母が 0 となってしまうのでロピタルの公式をまわって

y1=lim⁡D→3xeDx2D−6y_1 = \lim_{D \to 3} \frac{xe^{Dx}}{2D - 6}

分母が 0 となってしまうので

y1=lim⁡D→3x2eDx2=x22e3xy_1 = \lim_{D \to 3} \frac{x^2 e^{Dx}}{2} = \frac{x^2}{2} e^{3x}

これから

y=(A+Bx+x22)e3xy = (A + Bx + \frac{x^2}{2})e^{3x} （A,B は任意定数）

(3)

y′′−4y′+13y=9e2xy'' - 4y' + 13y = 9e^{2x}

特性方程式は s2−4s+13=0s^2 - 4s + 13 = 0 で s=2±4−13=2±3is = 2 \pm \sqrt{4-13} = 2 \pm 3i

微分演算子 DD を使って (D2−4D+13)y1=9e2x(D^2 - 4D + 13)y_1 = 9e^{2x}

y1=9D2−4D+13e2xy_1 = \frac{9}{D^2 - 4D + 13} e^{2x}、D=2D = 2を代入して

=922−4⋅2+13e2x=e2x= \frac{9}{2^2 - 4 \cdot 2 + 13} e^{2x} = e^{2x} これから

y=e2x(Asin⁡3x+Bcos⁡3x+1)y = e^{2x}(A \sin 3x + B \cos 3x + 1)（A,B は任意定数）

(4)

y′′−4y′+3y=2e3xy'' - 4y' + 3y = 2e^{3x}

特性方程式は s2−4s+3=0s^2 - 4s + 3 = 0 で (s−3)(s−1)=0(s-3)(s-1) = 0 ∴s=3,1\therefore s = 3,1

微分演算子 DD を使って (D2−4D+3)y1=2e3x(D^2 - 4D + 3)y_1 = 2e^{3x}

y1=2D2−4D+3e3xy_1 = \frac{2}{D^2 - 4D + 3} e^{3x}、D=3D = 3を代入して

=232−4⋅3+3e3x=20e3x= \frac{2}{3^2 - 4 \cdot 3 + 3} e^{3x} = \frac{2}{0} e^{3x}

分母が 00 となってしまうのでロピタルの公式をまねて

y1=lim⁡t→32x2t−4etx=xe3xy_1 = \lim_{t \to 3} \frac{2x}{2t - 4} e^{tx} = xe^{3x}

これから

y=Aex+Be3x+xe3xy = Ae^x + Be^{3x} + xe^{3x}（A,B は任意定数）

(5)

y′′+6y′−16y=8y'' + 6y' - 16y = 8

特性方程式は s2+6s−16=0s^2 + 6s - 16 = 0 で (s+8)(s−2)=0(s+8)(s-2) = 0 ∴s=2,−8\therefore s = 2, -8

微分演算子 DD を使って (D2+6D−16)y1=8(D^2 + 6D - 16)y_1 = 8、y1=8D2+6D−16=−12y_1 = \frac{8}{D^2 + 6D - 16} = -\frac{1}{2} これから

y=Ae2x+Be−8x−12y = Ae^{2x} + Be^{-8x} - \frac{1}{2}（A,B は任意定数）

(6)

y′′+6y′+18y=9xy'' + 6y' + 18y = 9x

特性方程式は s2+6s+18=0s^2 + 6s + 18 = 0 s=−3±9−18=−3±3is = -3 \pm \sqrt{9-18} = -3 \pm 3i

微分演算子 D を使って (D2+6D+18)y1=9x(D^2 + 6D + 18)y_1 = 9x

y1=9xD2+6D+18=12x−16y_1 = \frac{9x}{D^2 + 6D + 18} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{6} これから

y=e−3x(Asin⁡3x+Bcos⁡3x)+x2+16y = e^{-3x}(A \sin 3x + B \cos 3x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{6} (A,B は任意定数)

(7)

y′′−2y′+y=(x2+x)exy'' - 2y' + y = (x^2 + x)e^x

特性方程式は s2−2s+1=0s^2 - 2s + 1 = 0 (s−1)2=0(s-1)^2 = 0 ∴ s=1s = 1(重解)

微分演算子 D を使って (D2−2D+1)y1=(x2+x)ex(D^2 - 2D + 1)y_1 = (x^2 + x)e^x

y1=1D2−2D+1(x2+x)ex=1(D−1)2(x2+x)ex=ex1(D+1−1)2(x2+x)=ex1D2(x2+x)y_1 = \frac{1}{D^2 - 2D + 1}(x^2 + x)e^x = \frac{1}{(D-1)^2}(x^2 + x)e^x = e^x \frac{1}{(D+1-1)^2}(x^2 + x) = e^x \frac{1}{D^2}(x^2 + x)

=ex∫∫(x2+x) dx dx=ex∫(13x3+12x2)dx=ex(112x4+16x3)= e^x \int \int (x^2 + x)\,dx\,dx = e^x \int \left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right) dx = e^x \left(\frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{6}x^3\right) これから

y=ex(Ax+B+112x4+16x3)y = e^x \left(Ax + B + \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{6}x^3\right) (A,B は任意定数)

(8)

y′′+y′+y=3cos⁡xy'' + y' + y = 3\cos x

特性方程式は s2+s+1=0s^2 + s + 1 = 0 s=−1±1−42=−1±3i2s = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}

微分演算子 D を使って (D2+D+1)y1=3cos⁡x(D^2 + D + 1)y_1 = 3\cos x

y1=1D2+D+13cos⁡x=Re(3D2+D+1eix)=Re(3i2+i+1eix)=Re(3ieix)y_1 = \frac{1}{D^2 + D + 1} 3\cos x = \mathrm{Re}\left(\frac{3}{D^2 + D + 1}e^{ix}\right) = \mathrm{Re}\left(\frac{3}{i^2 + i + 1}e^{ix}\right) = \mathrm{Re}\left(\frac{3}{i}e^{ix}\right)

=−3Re(ieix)=−3Re(icos⁡x−sin⁡x)=3sin⁡x= -3\mathrm{Re}(ie^{ix}) = -3\mathrm{Re}(i\cos x - \sin x) = 3\sin x これから

y=e−12x(Asin⁡32x+Bcos⁡32x)+3sin⁡xy = e^{-\frac{1}{2}x}\left(A \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x + B \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + 3\sin x (A,B は任意定数)

y′′−2y′+3y=sin⁡xy'' - 2y' + 3y = \sin x

特性方程式は s2−2s+3=0s^2 - 2s + 3 = 0 s=1±−2=1±2is = 1 \pm \sqrt{-2} = 1 \pm \sqrt{2}i

微分演算子Dを使って (D2−2D+3)y1=sin⁡x(D^2 - 2D + 3)y_1 = \sin x

y1=1D2−2D+3sin⁡x=Im(1D2−2D+3eix)=Im(1i2−2i+3eix)=Im(12−2ieix)=12Im(1+i1+1eix)y_1 = \frac{1}{D^2 - 2D + 3} \sin x = \text{Im}\left(\frac{1}{D^2 - 2D + 3} e^{ix}\right) = \text{Im}\left(\frac{1}{i^2 - 2i + 3} e^{ix}\right) = \text{Im}\left(\frac{1}{2 - 2i} e^{ix}\right) = \frac{1}{2} \text{Im}\left(\frac{1+i}{1+1} e^{ix}\right)

=14Im{(1+i)(cos⁡x+isin⁡x)}=14(cos⁡x+sin⁡x)= \frac{1}{4} \text{Im}\{(1+i)(\cos x + i \sin x)\} = \frac{1}{4}(\cos x + \sin x) これから

y=ex(Asin⁡2x+Bcos⁡2x)+14(sin⁡x+cos⁡x)y = e^x(A \sin \sqrt{2}x + B \cos \sqrt{2}x) + \frac{1}{4}(\sin x + \cos x) (A,B は任意定数)

(10)

y′′+4y=cos⁡2xy'' + 4y = \cos 2x

特性方程式は s2+4=0s^2 + 4 = 0 ∴s=±2i\therefore s = \pm 2i

微分演算子Dを使って (D2+4)y1=cos⁡2x(D^2 + 4)y_1 = \cos 2x

y1=1D2+4cos⁡2x=Re(1D2+4e2ix)y_1 = \frac{1}{D^2 + 4} \cos 2x = \text{Re}\left(\frac{1}{D^2 + 4} e^{2ix}\right)

D=2iD = 2i を代入すると分母が0となるのでロピタルの公式をまわいて

=Re(lim⁡s→2ixeix2)=Re(x4ie2ix)=Re(−i4x(cos⁡2x+isin⁡2x))=14xsin⁡2x= \text{Re}\left(\lim_{s \to 2i} \frac{x e^{ix}}{2}\right) = \text{Re}\left(\frac{x}{4i} e^{2ix}\right) = \text{Re}\left(-\frac{i}{4} x(\cos 2x + i \sin 2x)\right) = \frac{1}{4}x \sin 2x これから

y=Asin⁡2x+Bcos⁡2x+14xsin⁡2xy = A \sin 2x + B \cos 2x + \frac{1}{4} x \sin 2x (A,B は任意定数)

解説: r31bn1z