第8章 8.25

$z=-a$ から下の体積

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+z^2=1 \qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+a^2=1$

$x^2+y^2=a^2(1-a^2)$

$x=r\cos\theta$ $y=r\sin\theta$ とおくと $0\leq r\leq a\sqrt{1-a^2}$ $0\leq\theta\leq2\pi$

$\int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{1-a^2}}\left(\sqrt{1-\frac{1}{a^2}r^2}-a\right)r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\left[-\frac{a^2}{3}\sqrt{\left(1-\frac{1}{a^2}r^2\right)^3}-\frac12ar^2\right]_0^{a\sqrt{1-a^2}}d\theta$

$=\int_0^{2\pi}\left\{-\frac{a^2}{3}\cdot a^3-\frac12a^3(1-a^2)+\frac{a^2}{3}\right\}d\theta=\int_0^{2\pi}\frac{a^5-3a^3+2a^2}{6}d\theta=\frac{a^5-3a^3+2a^2}{3}\pi$

ここで $f_{(a)}=\dfrac{a^5-3a^3+2a^2}{3}\pi$ とおくと

$f_{(a)}{}'=\left(\frac{5}{3}a^4-3a^2+\frac{4}{3}a\right)\pi$

$f_{(a)}{}'=0$ のとき

$\left(\frac{5}{3}a^4-3a^2+\frac{4}{3}a\right)\pi=0 \qquad 5a^3-9a+4=0 \qquad (a-1)(5a^2+5a-4)=0$

$a=1,\ \frac{-5\pm\sqrt{105}}{10} \qquad 0<a\leq1 \text{ から} \qquad \therefore a=1,\ \frac{-5+\sqrt{105}}{10}$

$f_{(1)}<f_{\left(\frac{-5+\sqrt{105}}{10}\right)}$ から $a=\dfrac{-5+\sqrt{105}}{10}$ のとき最大