x+2y+3z=1x + 2y + 3z = 1x+2y+3z=1 条件 g=x+2u+3z−1g = x + 2u + 3z - 1g=x+2u+3z−1 とおく f=x2+y2+z2f = x^2 + y^2 + z^2f=x2+y2+z2 gx=1g_x = 1gx=1 gy=2g_y = 2gy=2 gz=3g_z = 3gz=3 fx=2xf_x = 2xfx=2x fy=2yf_y = 2yfy=2y fz=2zf_z = 2zfz=2z ラグランジュの乗数法から {2x−λ=02y−2λ=02z−3λ=0\begin{cases} 2x - \lambda = 0 \\ 2y - 2\lambda = 0 \\ 2z - 3\lambda = 0 \end{cases}⎩⎨⎧2x−λ=02y−2λ=02z−3λ=0 これから y=2xy = 2xy=2x、z=3xz = 3xz=3x となる これを条件式に代入して x=114x = \dfrac{1}{14}x=141 同様にして y=17y = \dfrac{1}{7}y=71、z=314z = \dfrac{3}{14}z=143 を得る fff の式に代入して x2+y2+z2=114x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{1}{14}x2+y2+z2=141 よって 114\dfrac{1}{14}141