高専の数学解説

第7章 7.7

x2+y2=4x^2+y^2=4

f=x3yf=x^3y g=x2+y2−4g=x^2+y^2-4 とすると

gx=2xgy=2yfx=3x2yfy=x3g_x=2x \qquad g_y=2y \qquad f_x=3x^2y \qquad f_y=x^3

ラグランジュの乗数法から

{3x2y−λ2x=0①x3−λ2y=0②\begin{cases} 3x^2y-\lambda 2x=0 & ① \\ x^3-\lambda 2y=0 & ② \end{cases}

①から

λ=32xy\lambda=\dfrac{3}{2}xy

②に代入して

x3−3xy2=0x=±3y③x^3-3xy^2=0 \qquad x=\pm\sqrt{3}y \qquad ③

③をggに代入すると

y=±1y=\pm1

(3,1)(\sqrt{3},1)のとき f=33f=3\sqrt{3}

(3,−1)(\sqrt{3},-1)のとき f=−33f=-3\sqrt{3}

(−3,1)(-\sqrt{3},1)のとき f=−33f=-3\sqrt{3}

(−3,−1)(-\sqrt{3},-1)のとき f=33f=3\sqrt{3}

よって(3,1)(\sqrt{3},1)、(−3,−1)(-\sqrt{3},-1)のとき 最大値 333\sqrt{3}

(3,−1)(\sqrt{3},-1)、(−3,1)(-\sqrt{3},1)のとき 最小値 −33-3\sqrt{3}

解説: r31bn1z