第7章 7.1

(1)

$z = x^3 - x^2 + y^2 \qquad z = f_{(x,y)} \text{と考えて}$

$f_x = 3x^2 - 2x = x(3x-2) \qquad f_y = 2y \qquad f_{xx} = 6x - 2 \qquad f_{yy} = 2 \qquad f_{xy} = 0$

$f_x = f_y = 0$ のとき $(x,y) = (0,0), (\dfrac{2}{3}, 0)$

$H_{(x,y)} = (6x-2)\cdot 2 = 12x - 4$

$H_{(0,0)} = -4 < 0$ $H_{(\frac{2}{3},0)} = 4 > 0$

$f_{xx(\frac{2}{3},0)} = 4 > 0$ 極小

よって $(\dfrac{2}{3}, 0)$ のとき極小値 $-\dfrac{4}{27}$

(2)

$z = x^2 + xy + y^2 - 4x - 2y \qquad z = f_{(x,y)} \text{と考えて}$

$f_x = 2x + y - 4 \qquad f_y = x + 2y - 2 \qquad f_{xx} = 2 \qquad f_{yy} = 2 \qquad f_{xy} = 1$

$f_x = f_y = 0$ のとき $(x,y) = (2,0)$

$H_{(x,y)} = 4 - 1 = 3 > 0$

$f_{xx} = 2 > 0$ 極小

よって $(2,0)$ のとき極小値 $-4$

(3)

$z = x^2 + xy + y^2 - 5x - y \qquad z = f_{(x,y)} \text{と考えて}$

$f_x = 2x + y - 5 \qquad f_y = x + 2y - 1 \qquad f_{xx} = 2 \qquad f_{yy} = 2 \qquad f_{xy} = 1$

$f_x = f_y = 0$ のとき $(x,y) = (3,-1)$

$H_{(x,y)} = 4 - 1 = 3 > 0$

$f_{xx} = 2 > 0$ 極小

よって $(3,-1)$ のとき極小値 $-7$

(4)

$z = y^2 - 3x^2 y + 3x^4$ $z = f_{(x,y)}$ と考えて

$f_x = -6xy + 12x^3 = 6x(2x^2 - y)$

$f_y = 2y - 3x^2$ $f_{xx} = -6y + 36x^2$ $f_{yy} = 2$ $f_{xy} = -6x$

$f_x = f_y = 0$ のとき $(x,y) = (0,0)$

$H_{(x,y)} = (-6y + 36x^2) \cdot 2 - 36x^2$ $H_{(0,0)} = 0$

ここで $f_{(x,0)} = 3x^4$ $f_{(0,y)} = y^2$

$x, y$ のそれぞれが正負どちらを取っても正となるため原点で極値をとると考えられる

$f_{yy} = 2 > 0$ 極小

よって $(0,0)$ で極小値 $0$

(5)

$z = e^{\frac{x}{2}}(x^2 + y^2)$ $z = f_{(x,y)}$ と考えて

$f_x = \dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}(x^2 + y^2) + 2xe^{\frac{x}{2}}$ $f_y = 2ye^{\frac{x}{2}}$ $f_{xx} = \dfrac{1}{4}e^{\frac{x}{2}}(x^2 + y^2) + xe^{\frac{x}{2}} + 2e^{\frac{x}{2}} + xe^{\frac{x}{2}}$

$f_{yy} = 2e^{\frac{x}{2}}$ $f_{xy} = ye^{\frac{x}{2}}$

$f_x = f_y = 0$ のとき $(x,y) = (0,0)$

$H_{(0,0)} = 4 > 0$

$f_{xx(0,0)} = 2 > 0$ 極小

よって $(0,0)$ のとき極小値 $0$

(6)

$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \qquad z = f_{(x,y)} \text{と考えて}$

$f_x = \frac{2}{a^2}x \qquad f_y = \frac{2}{b^2}y \qquad f_{xx} = \frac{2}{a^2} \qquad f_{yy} = \frac{2}{b^2} \qquad f_{xy} = 0$

$f_x = f_y = 0 \text{のとき} \quad (x,y) = (0,0)$

$H_{(x,y)} = \frac{4}{a^2b^2} > 0$

$f_{xx} = \frac{2}{a^2} > 0 \quad \text{極小}$

よって$(0,0)$のとき極小値$0$