第6章 6.13

(1)

$f_x = 1$ $f_y = 2$

$\int f_x dx = x + C_1 \qquad \int f_y dy = 2y + C_2$

これから

$f_{(x,y)} = x + 2y + C \qquad (\text{C \text{は積分定数}})$

(2)

$f_x = x$ $f_y = y$

$\int f_x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1 \qquad \int f_y dy = \frac{1}{2}y^2 + C_2$

これから

$f_{(x,y)} = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 + C \qquad (\text{C \text{は積分定数}})$

(3)

$f_x = 3x - 2$ $f_y = -3y$

$\int f_x dx = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C_1 \qquad \int f_y dy = -\frac{3}{2}y^2 + C_2$

これから

$f_{(x,y)} = \frac{3}{2}(x^2 - y^2) - 2x + C \qquad (\text{C \text{は積分定数}})$

(4)

$f_{xy} = 0$

$f_x = f_{(y)} + C_1 \quad \rightarrow \quad f = F_{(y)} + C_2$

$f_y = f_{(x)} + C_3 \quad \rightarrow \quad f = F_{(x)} + C_4$

よって

$f = F_{(x)} + F_{(y)} + C \qquad (\text{C \text{は積分定数}})$

ただし $F_{(x)}$ は x のみの関数、 $F_{(y)}$ は y のみの関数である