第6章 6.3

(1)

$\dfrac{x}{x+y}$

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x}{x+y}$ 6.2(2)と同世に考えると 極値は存在しない

(2)

$\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}$

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}$ $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$とおくと $r\to 0$となり これから

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| = \lim_{r\to 0}\left|\dfrac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2}\right| = \lim_{r\to 0}\left|r\cos^2\theta\sin\theta\right| = 0$

(3)

$\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$とおくと $r\to 0$となり これから

$=\lim_{r\to 0}\left|\dfrac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{r^2}\right| = \lim_{r\to 0}\left|\cos^2\theta-\sin^2\theta\right|$ この関数は収束しない よって極値は存在しない

(4)

$\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$とおくと $r\to 0$となり これから

$=\lim_{r\to 0}\left|\dfrac{r^2\cos\theta\cdot\sin\theta}{r}\right| = \lim_{r\to 0}\left|r\cos\theta\cdot\sin\theta\right| = 0$