第5章 5.29

(1)

$f_{(x)} = \int_0^x (x-t)f''_{(t)}\, dt \ \ f$

右辺 $= \displaystyle\int_0^x (x-t)f''_{(t)}\, dt = \left[(x-t)f'_{(t)}\right]_0^x + \int_0^x f'_{(t)}\, dt = \left[(x-t)f'_{(t)}\right]_0^x + \left[f_{(t)}\right]_0^x$

$= (x-x)f'_{(x)} - (x-0)f'_{(0)} + f_{(x)} - f_{(0)} = f_{(x)}$

よって与式は成り立つ

(2)

$\left|f''_{(x)}\right| \leq x$

両辺を積分すると

$\int \left|f''_{(x)}\right| dx \leq \int x\, dx \qquad \left|f'_{(x)}\right| \leq \frac{1}{2}x^2$

両辺を積分すると

$\int \left|f'_{(x)}\right| dx \leq \int \frac{1}{2}x^2\, dx \qquad \left|f_{(x)}\right| \leq \frac{1}{6}x^3 = \frac{1}{3!}x^3$

よって与式は成り立つ