第4章 4.16

(1)

$\frac{1}{1-\cos x}$

$\int \frac{1}{1-\cos x}\,dx$ $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$ $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ これから

$=\int \frac{1}{1-\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt=\int\frac{2}{1+t^2-1+t^2}\,dt=\int\frac{1}{t^2}\,dt=-\frac{1}{t}+C$ 元に戻して

$=-\frac{1}{\tan\dfrac{x}{2}}+C$ （C は積分定数)

(2)

$\frac{1}{\sin x+\cos x}$

$\int\frac{1}{\sin x+\cos x}\,dx$ $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$ $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ これから

$=\int\frac{1}{\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt=\int\frac{-2}{t^2-2t-1}\,dt=\int\frac{-2}{(t-1)^2-2}\,dt=-\frac{1}{\sqrt2}\log\left|\frac{(t-1)-\sqrt2}{(t-1)+\sqrt2}\right|+C$

元に戻して

$=\frac{1}{\sqrt2}\left\{\log\left|\tan\frac{x}{2}-1+\sqrt2\right|-\log\left|\tan\frac{x}{2}-1-\sqrt2\right|\right\}+C$ （C は積分定数)