第4章 4.8

(1)

$\frac{1}{2x^2+2x-12}$

$\int \frac{1}{2x^2+2x-12}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+x-6}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x-2)(x+3)}dx=\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}\right)\cdot \frac{1}{5}dx$

$=\frac{1}{10}\log\left|\frac{x-2}{x+3}\right|+C$ （Cは積分定数）

(2)

$\frac{x}{x^4+4x^2+8}$

$\int \frac{x}{x^4+4x^2+8}dx=\int \frac{x}{(x^2+2)^2+4}dx=\int \frac{2x}{(x^2+2)^2+4}\cdot \frac{1}{2}dx=\frac{1}{4}\tan^{-1}\frac{x^2+2}{2}+C$ （Cは積分定数）

(3)

$\frac{e^x}{1+e^{2x}}$

$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx \qquad e^x=t\ \ \text{とおくと} \qquad e^xdx=dt \qquad \text{これから}$

$=\int \frac{1}{1+t^2}dt=\tan^{-1}t+C \qquad \text{元に戻して}$

$=\tan^{-1}e^x+C$ （Cは積分定数）

(4)

$\frac{x^4}{x^2-9}$

$\int \frac{x^4}{x^2-9}dx=\int (x^2+9)+\frac{81}{x^2-9}dx=\frac{1}{3}x^3+9x+\frac{81}{6}\log\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C$

$=\frac{1}{3}x^3+9x+\frac{27}{2}\log\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C$ （Cは積分定数）

(5)

$\frac{1}{\sqrt{5-4x-x^2}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{5-4x-x^2}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{9-(x+2)^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x+2}{3} + C \qquad \text{(C \text{は積分定数})}$

(6)

$\frac{1}{\sqrt{x^2+6x+8}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+6x+8}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x+3)^2-1}}\,dx = \log\left|x+3+\sqrt{x^2+6x+8}\right| + C \qquad \text{(C \text{は積分定数})}$