第4章 4.7

(1)

$\frac{1}{1+\cos x}$

$\displaystyle\int \frac{1}{1+\cos x}\,dx$ $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと $dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ これから

$=\int \frac{1}{1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt=\int \frac{2}{1+t^2+1-t^2}\,dt=\int dt=t+C$ 元に戻して

$=\tan\frac{x}{2}+C$ （Cは積分定数）

(2)

$\frac{\sin x}{1+\sin x}$

$\displaystyle\int \frac{\sin x}{1+\sin x}\,dx$ $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと $dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$ $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ これから

$=\int \frac{\dfrac{2t}{1+t^2}}{1+\dfrac{2t}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt=\int \frac{4t}{(1+t^2+2t)(1+t^2)}\,dt=\int \left\{\frac{-1}{1+2t+t^2}+\frac{1}{1+t^2}\right\}\cdot 2\,dt$

$=\int \left\{\frac{-1}{(t+1)^2}+\frac{1}{1+t^2}\right\}\cdot 2\,dt=2\cdot\left(\frac{1}{t+1}+\tan^{-1}t\right)+C$ 元に戻して

$=\frac{2}{1+\tan\dfrac{x}{2}}+2\tan^{-1}\left(\tan\frac{x}{2}\right)+C=\frac{2}{1+\tan\dfrac{x}{2}}+x+C$ （Cは積分定数）