第4章 4.2

(1)

$\frac{1}{x^{2}-6x+5}$

$\int \frac{1}{x^{2}-6x+5}\,dx=\int \frac{1}{(x-5)(x-1)}\,dx=\int \left\{\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-1}\right\}\cdot\frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\log\left|\frac{x-5}{x-1}\right|+C$ （C は積分定数）

(2)

$\frac{1}{x^{2}+4x+5}$

$\int \frac{1}{x^{2}+4x+5}\,dx=\int \frac{1}{(x+2)^{2}+1}\,dx=\tan^{-1}(x+2)+C$ （C は積分定数）

(3)

$\frac{1}{\sqrt{15-4x-4x^{2}}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{15-4x-4x^{2}}}\,dx=\int \frac{1}{\sqrt{16-(1+2x)^{2}}}\,dx=\frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{1+2x}{4}+C$ （C は積分定数）

(4)

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x}}\,dx=\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}-1}}\,dx=\log\left|(x+1)+\sqrt{(x+1)^{2}-1}\right|+C=\log\left|(x+1)+\sqrt{x^{2}+2x}\right|+C$

（C は積分定数）

(5)

$\frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+1}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+1}}\,dx=\int \frac{1}{\sqrt{\left(2x+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{15}{16}}}\,dx=\frac{1}{2}\log\left|\left(2x+\frac{1}{4}\right)+\sqrt{\left(2x+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{15}{16}}\right|+C$

$=\frac{1}{2}\log\left|\left(2x+\frac{1}{4}\right)+\sqrt{4x^{2}+x+1}\right|+C$ （C は積分定数）