高専の数学解説

第3章 3.14

(1)

(log⁡x)(n)=(−1)n−1(n−1)!xn(\log x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}

f=log⁡xf = \log x とおくと

f′=1xf′′=−1x2f′′′=2x3f' = \dfrac{1}{x} \qquad f'' = -\dfrac{1}{x^2} \qquad f''' = \dfrac{2}{x^3}

これから

f(n)=(−1)n−1(n−1)!xnよって与式は成り立つf^{(n)} = (-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n} \qquad \text{よって与式は成り立つ}

(2)

{log⁡(1−x)}(n)=−(n−1)!(1−x)n\{\log(1-x)\}^{(n)} = -\dfrac{(n-1)!}{(1-x)^n}

f=log⁡(1−x)f = \log(1-x) とおくと

f′=−11−xf′′=−1(1−x)2f′′′=−2(1−x)3f' = -\dfrac{1}{1-x} \qquad f'' = -\dfrac{1}{(1-x)^2} \qquad f''' = -\dfrac{2}{(1-x)^3}

これから

f(n)=−(n−1)!(1−x)nよって与式は成り立つf^{(n)} = -\dfrac{(n-1)!}{(1-x)^n} \qquad \text{よって与式は成り立つ}

(3)

(xex)(n)=(x+n)ex(xe^x)^{(n)} = (x+n)e^x

f=xexf = xe^x とおくと

f′=ex+xexf′′=ex+ex+xex=(2+x)exf' = e^x + xe^x \qquad f'' = e^x + e^x + xe^x = (2+x)e^x

これから

f(n)=(x+n)exよって与式は成り立つf^{(n)} = (x+n)e^x \qquad \text{よって与式は成り立つ}

(4)

(xe−x)(n)=(−1)n(x−n)e−x(xe^{-x})^{(n)} = (-1)^n(x-n)e^{-x}

f=e−x−xe−xf = e^{-x} - xe^{-x}

f′=e−x−xe−xf' = e^{-x} - xe^{-x}

f′′=−e−x−e−x+xe−x=(x−2)e−xf'' = -e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = (x-2)e^{-x}

これから

f(n)=(−1)n(x−n)e−xf^{(n)} = (-1)^n(x-n)e^{-x} よって与式は成り立つ

解説: r31bn1z