第3章 3.7

(1)

$e^{2x}$

$f = e^{2x}$ とおくと

$f \cong 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3$

(2)

$\dfrac{1}{2x+1}$

$f = \dfrac{1}{2x+1}$ とおくと

$f' = \dfrac{-2}{(2x+1)^2} \qquad f'' = \dfrac{4\cdot 2!}{(2x+1)^3} \qquad f''' = \dfrac{-8\cdot 3!}{(2x+1)^4}$

これから $f \cong 1 - 2x + 4x^2 - 8x^3$

(3)

$\sqrt{1-x}$

$f = \sqrt{1-x}$ とおくと

$f' = \dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}} \qquad f'' = \dfrac{-1}{4\sqrt{(1-x)^3}} \qquad f''' = \dfrac{-3}{8\sqrt{(1-x)^5}}$

これから $f = 1 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2 - \dfrac{1}{16}x^3$

(4)

$\log(1+2x)$

$f = \log(1+2x)$ とおくと

$f' = \dfrac{2}{1+2x} \qquad f'' = \dfrac{-4}{(1+2x)^2} \qquad f''' = \dfrac{16}{(1+2x)^3} \qquad f^{(4)} = \dfrac{-96}{(1+2x)^4}$

これから $f \cong 2x - 2x^2 + \dfrac{8}{3}x^3 - 4x^4$