第2章 2.13

(1)

$\lim_{x \to 0} f_{(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x(\pi - x)}$

$x \to 0$ では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x(\pi - x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{(\pi - x) - x} = \frac{1}{\pi}$

$\lim_{x \to \pi} f_{(x)} = \lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x(\pi - x)}$

$x \to \pi$ では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x(\pi - x)} = \lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{(\pi - x) - x} = \frac{-1}{-\pi} = \frac{1}{\pi}$

(2)

$f'_{(x)} = \frac{\cos x \{x(\pi - x)\} - \sin x \{\pi - x - x\}}{\{x(\pi - x)\}^2} = \frac{x(\pi - x)\cos x + (2x - \pi)\sin x}{x^2(\pi - x)^2}$

$\lim_{x \to 0} f'_{(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\pi - x)\cos x + (2x - \pi)\sin x}{x^2(\pi - x)^2}$

$x \to 0$ では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0} \frac{x(\pi - x)\cos x + (2x - \pi)\sin x}{x^2(\pi - x)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(\pi - 2x)\cos x - x(\pi - x)\cos x + 2\sin x + (2x - \pi)\cos x}{2x(\pi - x)^2 - 2x^2(\pi - x)}$

$x \to 0$ では分母$\to 0$、分子$\to 0$となるのでロピタルの定理から

$\lim_{x \to 0} \frac{-(\pi - 2x)\sin x - x(\pi - x)\cos x + 2\sin x + 2\cos x}{2(\pi - x)^2 - 4x(\pi - x) - 4x(\pi - x) + 2x^2} = \frac{1}{\pi^2}$