1x+1<log(x+1)−logx<1x\frac{1}{x+1} < \log(x+1) - \log x < \frac{1}{x}x+11<log(x+1)−logx<x1 log(x+1)−logx\log(x+1) - \log xlog(x+1)−logx において f(b)−f(a)b−a=f(c)′(a<c<b)からf(x)=logxとなり\frac{f_{(b)} - f_{(a)}}{b-a} = f'_{(c)} \quad (a < c < b) \quad \text{から} \quad f_{(x)} = \log x \quad \text{となり}b−af(b)−f(a)=f(c)′(a<c<b)からf(x)=logxとなり log(x+1)−logx(x+1)−x=log(x+1)−logx=1cとなる c が存在する(平均値の定理)\frac{\log(x+1) - \log x}{(x+1)-x} = \log(x+1) - \log x = \frac{1}{c} \quad \text{となる } c \text{ が存在する} \qquad \text{(\text{平均値の定理})}(x+1)−xlog(x+1)−logx=log(x+1)−logx=c1となる c が存在する(平均値の定理) x>0x>0x>0 の範囲では 1x+1={log(x+1)}′<1x=(logx)′\dfrac{1}{x+1} = \{\log(x+1)\}' < \dfrac{1}{x} = (\log x)'x+11={log(x+1)}′<x1=(logx)′ が成り立ち 1x+1<log(x+1)−logx<1x が成り立つ\frac{1}{x+1} < \log(x+1) - \log x < \frac{1}{x} \text{ が成り立つ}x+11<log(x+1)−logx<x1 が成り立つ